【原】2023高一数学月考卷

高一上学期月考数学试题

考试时间：120分钟；满分150分。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则（    ）

A．                    B．

C．                        D．

2．命题“，”的否定为（    ）

A．，        B．，

C．，         D．，

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件                B．必要不充分条件

C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件

4．满足条件的所有集合的个数是（    ）

A．4个      B．8个       C．16个       D．32个

5．已知实数、、，且，则下列不等式正确的是     

A．   B．      C．     D．

6．已知，且的最小值为（    ）

A．10       B．9         C．8          D．7

7．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（    ）

A．5                           B．6                           C．7                           D．8

8．下列命题中，正确的是（    ）

A．若a＜b＜0，则a²＜ab＜b²                       B．若ab＜0，则

C．若b＜a＜0，c＜0，则                     D．若a，b∈R，则a⁴＋b⁴≥2a²b²

二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列选项中的两个集合相等的是（    ）．

A．，

B．，

C．，

D．，

10．给出下列四个条件：其中能成为的充分条件的是（    ）

A．     B．     C．      D．

11．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（    ）

A．             B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或  D．

12．下列结论错误的是（    ）

A．不存在实数a使得关于x的不等式的解集为

B．不等式在R上恒成立的必要条件是且

C．若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为R

D．不等式的解集为

第II卷（非选择题）

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若，则的值为__________.

14．已知，则函数的最大值为____________

15．若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是________．

16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．

四、解答题：17题10分，18-22每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知集合，集合．

(1)求；

(2)求.

18．已知集合，集合

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

19．已知不等式

（1）若不等式的解集为或，求实数的值；

（2）若，解该不等式.

20．已知集合，命题p：“不等式对一切实数x都成立．

(1)若命题p是真命题，求实数k的取值范围；

(2)当命题p是真命题时，记实数k的取值范围对应集合为集合B，若，求实数m的取值范围．

21．已知正实数满足，

(1)求的最小值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

22．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)在（1）的条件下，求的最小值；

(3)解关于的不等式

参考答案：

1．C

【分析】直接进行交集运算即可求解.

【详解】因为集合，，

则，

故选：C.

2．D

【分析】根据全称命题的否定的求解，改量词，否结论即可求得结果.

【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，

故原命题的否定是：，.

故选：D.

3．B

【分析】分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．

【详解】由，解得或，

由，得，

即由不能得到，反之，由，能够得到．

即“”是“”的必要不充分条件．

故选：B

4．B

【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．

【详解】∵{1，3，5}∪M={1，3，5，7，9}

∴7∈M，且9∈M

∴的集合M可能为{7，9}或{1，7，9}或{3，7，9}或{5，7，9}或{1，3，7，9}或{1，5，7，9}或{3，5，7，9}或{1，3，5，7，9}

故选B．

【点睛】本题考查了并集概念的灵活应用，属于基础题.

5．C

【分析】利用特值可进行排除，由不等式性质可证明C正确.

【详解】若a＝1，b＝﹣1，则A，B错误，若c＝0，则D错误，

∵a＞b，

∴a+1＞a＞b＞b﹣1，

∴a+1＞b﹣1，故C正确，

故选C．

【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小，可用特殊值代入法，属于基础题．

6．D

【分析】构造基本不等式求最小值.

【详解】因为，所以，

所以，当且仅当，即时取等号.

故选:D.

7．D

【分析】根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.

【详解】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，

所以年平均利润

当且仅当时等号成立，

即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，

故选：D

8．D

【分析】利用不等式的性质可判断AC；利用基本不等式可判断B，利用作差法可判断D．

【详解】解：对于A，，则，故A错误；

对于B，即异号，当且仅当时等号；

对于C，由得，又，则，故C错误；

对于D，由，得，故D正确．

故选：D．

9．AC

【分析】首先判断两集合的元素特征，即可判断.

【详解】解：对于A：，，集合与均为偶数集，故，即A正确．

对于B：，

，故，即B错误；

对于C：，当为偶数时，，

当为奇数时，，即，所以，故C正确；

对于D：，为点集，故，即D错误；

故选：AC

10．BC

【分析】由不等式的性质即可得出结论.

【详解】A中，若，则不能得到，A错误；

B中，若，则有，满足充分性，B正确；

C中，若，则有，是的充分条件，C正确；

D中，若，则，不能得到，D错误.

故选：BC

11．AD

【分析】由一元二次不等式的解集可确定，并知两根为和，利用韦达定理可用表示，由此将不等式中用替换后依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于A，由不等式的解集可知：且，，，A正确；

对于B，，又，，B错误；

对于C，，即，解得：，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD.

12．CD

【分析】根据题意，结合一元二次不等式和分式不等式的解法，一一判断即可.

【详解】对于选项A，当时，的解集不为，而当时，要使不等式的解集为，只需，即，因，故不存在实数a使得关于x的不等式的解集为，因此A正确；

对于选项B，当且时，在R上恒成立，故不等式在R上恒成立的必要条件是且，因此B正确；

对于选项C，因函数对应的方程没有实根，但正负不确定，故或恒成立，因此不等式的解集不一定为R，故C错；

对于选项D，由，得，即，解得，故D错.

故选：CD.

13．或

【分析】利用元素与集合关系得，再结合元素互异性求解即可

【详解】，故或-2

经检验满足互异性

故填或

【点睛】本题考查元素与集合的关系，注意互异性的检验，是基础题

14．

【分析】利用基本不等式即可得到结果.

【详解】

∴

当时，等号成立，其最大值为，

故答案为：

15．

【分析】将原不等式化为，再根据的取值范围，得到与的关系，从而得解；

【详解】解:原不等式即，

由，得，所以．

所以不等式的解集为．

故答案为：．

【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.

16．

【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．

【详解】∵，，且，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值为8，

由解得，

∴ 实数的取值范围是

故答案为：．

【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．

17．(1)；

(2)或.

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义、补集的定义求解作答.

（1）

解不等式得：，而，

所以.

（2）

由（1）知或，或，

所以或.

18．(1)

(2)

【分析】（1）若，则，即是方程的根，由此求解即可；

（2）因为，所以，分情况讨论，求解即可．

（1）

因为，且

所以，即是方程的根

所以，得

则

所以．

（2）

因为，所以

对于方程，

①当即时，，满足

②当即或时，

因为，所以或或

当时，，得

当时，，无解

当时，，无解

综上所述，．

19．（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，根据韦达定理列方程即可求解；

（2）若，不等式为，分别讨论、、、、解不等式即可求解.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以和是方程的两个根，

由根与系数关系得，解得；

（2）当时，不等式为，

当时，不等式为，可得：；

当时，不等式可化为，

方程的两根为，，

当时，可得：；

当时，

①当时，即时，可得：或；

②当即时，可得：；

③当，即时，可得或；

综上：

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为或；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为或.

20．(1)

(2)

【分析】（1）分、、三种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；

（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

（1）

解：因为命题p：“不等式一切实数都成立”是真命题，

当时，成立；当时，不成立；

当时，，所以

综上所述，

（2）

解：因为，所以，

由（1）可得，

因为，

当，即时，，满足，

当，即时，，

若，则，不等式组无解，

综上所述，.

21．(1)

(2)

【分析】（1）由基本不等式、完全平方公式即可的最小值；

（2）根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的代换可求a的取值范围.

（1）

因为，有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为；

（2）

若恒成立，则，

因为，

当且仅当即时，取等号，

所以的最小值为9，即，

故实数a的取值范围是

22．(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）分别在和的情况下，根据恒成立可构造不等式组求得结果；

（2）将所求式子化为，利用基本不等式可求得最小值；

（3）分别在、、、和的情况下，解不等式即可得到结果.

（1）

由恒成立得：对一切实数恒成立；

当时，不等式为，不合题意；

当时，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

（2）

，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

（3）

由得：；

①当时，，解得：，即不等式解集为；

②当时，令，解得：，；

（i）当，即时，不等式解集为；

（ii）当，即时，不等式解集为；

（iii）当，即时，不等式可化为，，

不等式解集为；

（iv）当，即时，不等式解集为；

综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.