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实际的抛体运动的规律有简单的也有复杂的，最简单的莫过于在地球表面的抛体只受恒定的重力作用，应用高中的物理知识就可以求出其运动规律和轨迹方程。复杂的抛体运动如现代炮弹、火箭、导弹就需要考虑很多因素：空气阻力、地球自转带来的科氏力、纬度的变化、重力加速度的变化。空气阻力的变化也很复杂，速度不大时与速度成正比，速度较大时与速度的平方成正比，速度再大就与速度的立方甚至五次方成正比。如果所有因素都考虑的话，那么这种运动的规律将相当复杂，也不可能有解析解。一般工程上都是根据所考虑的因素列出微分方程组利用电脑求出数值解。 我在这里只研究比高中稍微复杂的一类情况：可看成质点的抛体只受重力和空气阻力作用，不考虑其它的情况。而空气阻力的大小也分两种情况：1空气阻力大小与速度成正比，2空气阻力大小恒定，第一种情况比较简单。可以直接在直角坐标系中写出运动微分方程组，并且可以求得其解析解。对第二种情况而言，虽然还没有资料介绍空气阻力的大小恒定的情况，但这个问题仍然有一定的现实意义：如在较大的斜面上的物体初速度方向与斜面母线成一定的夹角运动时，在重力、支持力、摩擦力的作用下的运动规律就与第二种情况是一致的。第二种情况可以通过坐标变换可以求得轨道方程的解析解和运动规律。还有一种情况是空气阻力与速度的平方成正比，但这种情况通过坐标变换的方式可以求出轨道方程的水平方向的解析解，但不能求出竖直方向的解析解，更不用说运动规律的解析解。因此我只记录了两种情况下的抛体运动的规律和轨迹方程。 问题：一质量为m的质点，从离地面一定的高度以初速度V0沿与竖直方向成θ0角抛出，求出以下二种情况下质点的运动规律和轨迹方程。1空气阻力大小与速度成正比，2空气阻力大小恒定。
为了求出运动规律和轨道方程，我们首先需建立坐标系。如上图所示，以抛出点为原点，速度在水平方向的投影方向和竖直方向分别为X轴和Y轴，建立直角坐标系，设速度方向与Y轴正方向的夹角为θ，则曲线的法线与X轴的夹角也为θ，且设顺时针方向为角度的正方向。 对第一种情况我们可以直接在坐标系中写出微分方程：
这既是运动规律，也是轨迹关于时间t的参数方程。 对于第二种情况，设空气阻力产生的加速度为a，也可以直接在坐标系中写出微分方程组： 在自然坐标系中有方程：
直角坐标系与自然坐标系的变换方程：
将（6）、（12）式联立即得到自然坐标下的运动规律，将（9）、（10）、（12）式联立即得到在平面直角坐标系下的运动规律。 |
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