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2.在我看来，这是初中阶段最难上的一节课，也是我自从教以来，一直思索的一节课。对于本节课，我想，以下两个观点，不应该有争议：⑴要有“提出问题”的环节；⑵宁愿找下面的借口：承认自己设计无能；这是天才顿悟的结果；无法解释前人如何想出来的，也坚决不要用虚假探究的方式去忽悠学生。 3.个人思考，未必科学，仅供教学参考。 2016年8月15日，应江苏省中小学教学研究室，南京凤凰数学教育科学研究所，苏科版初中数学实验教科书编辑部邀请，我在网上作了“勾股定理的教学探讨”讲座。考虑这学期八年级有“勾股定理”这一节课，现将我的讲座实录在这里发一下，供一线教师教学参考。 【主题】 勾股定理的教学探讨 【时间】 2016年8月15日20:00～21:30 【主持】 王震伟 【主讲】 于新华 主讲人简介:于新华，男，江苏省数学特级教师，常州市中学数学名师工作室领衔人，中国数学奥赛教练员，担任多年初中数学与高中数学教研员，曾获得
“江苏省十大杰出青年”，“常州市十佳青年”，“常州市优秀教研员”等荣誉。 任教过从初中到高中各个年级的数学教学工作，在多年的教学实践中，逐步形成“视野开阔，情趣交融；居高临下，深入浅出”教学风格。曾辅导两名学生在全国数学联赛中荣获壹等奖。 【特邀嘉宾】 嘉宾1 姜鸿雁，女，凤凰数学网版主，江苏省数学特级教师。 嘉宾2 林福凯，男，中学高级教师，龙岩市、漳平市名师，骨干教师；全国数学联赛、希望杯等竞赛辅导中荣获全国优秀园丁、优秀教练、优秀指导教师等荣誉称号。多次获龙岩市、漳平市教师技能大赛（说课、片断教学、说题、课件制作）一、二等奖；多次开展龙岩市、漳平市的公开课、观摩课、优质课、专题讲座等；主要从事初中数学试题化归与通解探寻、复习备考与中考命题等研究，在《中学数学教学参考》、湖北《中学数学》、《中小学数学》、《中学数学研究》、《中学教学参考》、《中学生数学》等杂志发表过论文。 嘉宾3 丁海科，男，中学高级教师，徐州市优秀教育工作者，徐州市青年优秀骨干教师，徐州市学科带头人，徐州市初中数学优质课一等奖。 嘉宾4 陈新合，男，现任教于苏州市阳山实验初级中学校，分别获得苏州市市区青年教师评优课比赛、苏州市市区青年教师基本功比赛二、三等奖，所教学生多次在省“数学文化节”获得一等奖，多篇论文在市论文评比中获奖。 【研讨记录】： 常州王震伟：今晚的研讨主题为“勾股定理的教学探讨” 江苏于新华：可以开始聊起来了。 常州王震伟：OK 江苏于新华：首先感谢震伟“坑”我，将这样好的机会留给我，鞭策我进步。 江苏于新华：更要感谢四位嘉宾，在这炎炎夏日，应当是陪伴亲人休息的美好时光，却要在这里陪我“聊天”，真心感谢。 江苏于新华：我的讲座打算从以下三个方面展开： 一、一些想法；二、教学设计；三、教学感想 常州王震伟：洗耳恭听 江苏于新华：重点是第二个方面“教学过程设计” 先讲第一个方面：一、一些想法 江苏于新华：1．这个讲座之前并没有成文，只是谈谈自己的一些思考，因此无法在一篇论文的基础上，通过剪贴的方式贴到这里。 江苏于新华：我的理解，网络讲座与论文写作有很大区别，而论文写作，正如山东李树臣老师所说，要追求语言精炼。在我看来，既然是网络讲座，就要有聊的味道。“聊”有两个特征，一是话题很多，但形散而神不散；二是有众人参与，相互交流，观点既有共鸣，也有碰撞。或许这更能够体现网络讲座的价值。 泰州韩新正：确实如此 江苏于新华：也正因为如此，本人也不建议后续整理成文，因为这样的讲座与一篇规范工整的论文相比，毕竟很大区别，刻意去整理成文，工作量非常大，没有必要。 常州王震伟：没事，这就是于氏讲座 江苏于新华：2．在我心目中，初中数学有两节课最难上。一节就是勾股定理；另一节是三角函数定义。 因为这两个知识点是数学学科体系中极其重要的节点，解决过程既有很大的创造性，又有很强的探究性。 常州王震伟：恩，那下次讲三角函数？ 江苏于新华：说创造性，这些知识在历史真实的发生与发展的过程中，或许要经历很长时间，又要经过许多人的思考，最后顿悟并加工形成今天这样的知识，那么如何在短短的一节课中合理体现这样的过程？这很困难。正是这个原因，这两节课值得我们持续探讨。 江苏于新华：事实上，从做学生起，直至工作到今天，我的头脑海中仍时不时思考这样的问题。 苏州陈新合：嗯，埋个伏笔 江苏于新华：也正因为这两个知识的特殊性，可以想象，许多人与我相同，在平时一直持续思考与研究。 江苏于新华：就拿最近时间来说，万广磊才子研究了，特级教师卜以楼也发表论文大作了。 徐州丁海科：我们缺乏深度，于特 常州王震伟：是的，勾股定理的文章很多，本群也多次研讨过这个话题 江苏于新华：3．对于勾股定理的设计，我上过课，近期也上过。从2000年担任数学教研员起，也听过许多课。传统的教学设计，要么几乎直接给出结论，然后介绍所谓的证明。要么就是设计一些假探究的情境，如量一量，拼一拼，从特殊到一般……。再渗透一些相关的数学文化。等等。 江苏姜鸿雁：在定理的发现方面，实在难以做到，至今我已经上过两次这节公开课，但总觉得遗憾 江苏于新华：我想强调说明的是：对勾股定理结论的探求，这既不是猜想题，也不是证明题，应当是求解题。 西安墨菲：拼、探 江苏于新华：在学生不知道勾股定理的情况下，由特殊的边边关系猜想结论是几乎不可能成功的。 徐州丁海科：的确如此 江苏于新华：3，4，5验证完了。假如你让学生猜测，当两直角边分别是4与5，斜边是多少时，…… 江苏姜鸿雁：视角好独到！ 泰州韩新正：这做法基本上不成课 江苏于新华：许多学生猜测结果为6。是不是有点搞笑？不信，你在教学实践中试试看。 上海刘华为：代表性的引入主要有两种：测量式和复制式（复制毕达哥拉斯的发现过程） 江苏于新华：这说明什么问题？是不是要引起我们思索？ 宁波郑瑞：印象犹深。于特曾经说过，勾股定理最好不要预习～～ 苏州陈新合：很多教材的处理也是呈现－证明－应用 浙江姜黄飞：可以特殊到一般 江苏于新华：我认可下面事实（或者说，这个猜想是合理的），无论古人还是今人，在不知道直角三角形三边长的关系前，而想探求这三边之间的关系，确实会从测量开始。在得到大量数据后，肯定期盼从中找出规律！问题是，在这些大量数据面前，谁有将勾股定理的结论形式猜想出来的本领？！这是我关注的焦点！我承认，我是没有这样能力，真的。测量是否精确，其实并不是重要的。因此通过测量方法来寻找规律，“无功而返”肯定是一个大概率事件！如果大家认可我的这种说法，那么从教育加工角度讲，期盼通过测量寻找规律的想法可以对学生提及，但未必要真的组织学生去操作。 什么叫“加工”？就是要努力提高效率。 无锡张锋：认同于特观点 我个人建议：摒弃依据结论而产生的教学设计；摒弃依据结论而设计的实验探索。 泰州韩新正：因此通过测量方法来寻找规律，“无功而返”肯定是一个大概率事件！如果大家认可我这种说法，那么从教育加工角度讲，期盼通过测量寻找规律的想法可以对学生提及，但未必要真的组织学生去操作。 漳平林福凯：勾股定理，历史渊源悠久，研究深入的文章及大师众多，但风格、方略各有所异！ 江苏于新华：对勾股定理教学设计的探讨，这是一个永恒的话题。“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，由于勾股定理本身知识的特殊性，几乎无法做到真实探究而得，注定这是一节“教育加工”痕迹非常明显的一节课，注定了其教学设计没有最合理的说法，只想更合理的追求。那么现在推敲什么？就是推敲如何加工更加合情合理，如何加工比较真实自然。 江苏于新华：再讲第二个方面：二、教学设计。分5个环节。 徐州丁海科：我们认真听！ 苏州陈新合：探究还是从文化的角度入手？ 江苏于新华：第1个环节，“1．提出问题” 数学教学必须要重视问题提出过程。而这一点恰恰是当下数学教学最缺少的环节。 苏州陈新合：为什么学这个内容？ 江苏于新华：本节课开头要有一个“提出问题”的环节。现在假情景满天飞，过于强调数学来源于生活，这些课让人听了缺少真正的数学味。我的设计如下： 苏州陈新合：日本的教材就是直接给出的，没有生活情境的 江苏姜鸿雁：我们先听听于特的，然后谈谈自己的设计 江苏于新华：⑴三角形中，已知两个角，求第三个角； ⑵三角形中，已知两条边，求第三条边。如△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB的长。
浙江姜黄飞：改变角的大小，看边的变化 江苏于新华：第⑵问的设计，从反面促进学生感受问题的合理性。当下的教学现状让人失望，没有“提出问题”的过程，没有“让学生感受问题合理性”的环节。 张奠宙著的《数学教育经纬》P122中有一个“船长年龄”的故事： 一位教育心理专家给上海的孩子出了一道题目：一条船上有75头牛，32头羊，请问船长多少岁？ 结果有90%的学生给出的答案是75－32＝43岁，另一个答案是53.5岁，因为学生刚刚学过“平均数”的概念。 只有10%的学生认为此题非常荒谬，无法解答。当然，这10%的同学是答对了。 事后在对这90%同学调查后发现，他们之所以会做出答案来，是因为觉得“老师出的题总是对的，不可能不能做”，“老师平时教育我们题目做了才能得分，不做的话一分也没有。” 这就是应试教育的结果。 盐城史丽丽：从一般到特殊 徐州丁海科：这样开放，让学生去思考 江苏于新华：“不在沉默中爆发，就在沉默中灭亡”。过一段时间后，肯定会有个别学生会说：这个问题不合理，无法求解。我问学生：为什么？学生说：AB长是可以变化的。 我启发学生：你能利用身边素材，生动形象地说明AB长度是可以变化的吗？ 这样的课我亲自上过，所以每一句我都仔细斟酌过…… 我期盼的效果是：学生拿起两支笔，将各自的一个端点靠在一起，然后说明随着笔的转动，夹角所对的边是变化的。  在此基础上，我会提出：当夹角确定时，对边长确定了没有？学生会感受到“确定了”，那么此时要你求这个边的长度，这样的问题合理吗？学生会很自然地说：合理。 江苏于新华：这里设计的目的是：我虽然不会求解某一个问题，但我能够感受到这个问题存在的合理性。 在此基础上，我会主动引导说明：这就是我们今后在很长一段时间里要研究的问题。 徐州丁海科：不去求解知道存在，合理 江苏于新华：但如果夹角是一个任意确定的角，那么这个问题太难了。我们还是从简单的情形开始研究吧。那么同学们在0°～180°中，哪一个角最特殊？学生：90°。教师：是的，我们就先从这个特殊情形开始研究。由此打开了话题。 这里有一个让学生“考察图形确定性，感受问题合理性”的过程。 俗语说：提出一个问题比解决一个问题更重要。 为了让学生真正理解数学，就应当培养学生的问题意识，这应该从我们的平时教学做起。 漳平林福凯：发现问题:任意三角形三边关系（不等式）， 三角关系（欧氏几何，定值） ，边角关系:大边←→大角（不等式）→特殊化:等腰三角形（含等边△）有等边←→等角;Rt△有90度定角。 江苏于新华：这种处理看似曲折，实际上促进了学生思考，让学生经历探究过程，学会提出问题，感受问题合理性。 令人悲伤的是，当下数学教学的局面是，教师们给出的问题向来都是合理的，条件不多不少。既没有让学生经历提出问题的过程，也没有让学生感受问题合理性。教师们从来只是告诉学生结论，而没有让学生感知存在的过程。 漳平林福凯：提出问题:由于等边三角形是三角形的特例，性质n多且直观、显然、易得，因此猜想直角三角形也是特殊化的直角三角形，边关系是否也存等量关系？边角能否有等价互化性质？或还具何新性质? 江苏于新华：下面讲解教学过程的第2个教学环节：2．主动引导。 对于数学教学，我经常强调两个词语：“真实”与“通俗”。 常州王震伟：赞同 江苏于新华：这里我对学生也决不回避解决勾股定理的困难，主动向他们阐述问题的难度。 关于勾股定理，史书上只是说有这样一个结论与谁证明了这个结论的记载，至于古人如何想到这个结论，又是如何想到证明这个结论，这方面的详细情况，史书上没有任何记载。事实上，要我们现代人努力作出这样的解释，这是一件相当困难的事情，我们只能作合理揣摩。 所以这里需要我们作主动引导。 浙江姜黄飞：体验知识的生成过程 江苏于新华：教学不要喊口号。许多口号美妙的。应当这样说，有意义的接受式教学仍应当是课堂教学的主要形式。 江苏姜鸿雁：给学生一个真实的面孔，教育的真谛！ 江苏于新华：数学上，当一个问题直接解决非常困难的时候，常用策略是：先从特殊情况入手。在解决了特殊情形下的问题后，从中受到解法的启示，再考虑解决一般情形下问题的解法。 前面是将角度特殊化，现在我们将背景特殊化。具体说，将问题放在网格背景中思考，看看在这种情况下能否找到解决问题的线索。 徐州丁海科：网格有利发现结论 男风141：过渡自然 江苏于新华：我们初中教师应该了解，学生从小学到初中，网格是常用解题背景。因为这一次的讲座，我将小学12册教材全部翻了一遍。继续讲解：如果将原先的问题：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求AB的长。放在格点背景下，你会解决吗？
江苏于新华：启发引导：要求边长的大小，等价于只要求边长的平方，等价于只要求以此边为边长的正方形的面积。 就引导而言，这一步似乎显得生硬，不够自然，但这里只能如此。数学上的重大发现常常是偶然的火花而迸发的灵感所致，这就是许多从事研究人员所追求的“尤里卡”效应。而事后要你找一个合理解释，当初究竟是如何想到的，这很困难，有时候几乎不可能。 如同要你猜想，  当n→∞时，这个结果将会怎样？是否会趋向于一个常数？只要你耐心探究，发现这个结果会趋向于一个常数，大体上这是没有困难的，但如果进一步问你这个常数的精确值是什么？无论你猜多少次，你也想象不到，因为这个常数是π^2/6。 其实如果你对学生原有的知识基础有所了解的话，这一步的引导也是自然的。这是由于，小学里在网格背景下，要解决的问题只有面积问题。这种特殊性对这里的处理技巧形成正迁移。而正方形面积与边长平方关联，因此要求一条线段长时，想到只要求以这条线段为边的正方形的面积还是有可能的。 常州王震伟：画出图形，未必想到面积，所以还是要引导 海宁张人杰：其实于特的问题其实除了要说明存在性的问题外，还得强调唯一性。但是这个问题有个地方上次研讨时，我回去思考过，是不是能求解，就一定代表有数学定理，这个不是一定有等量转化的，勾股定理真的具有非常特殊的数学美。这个美强求不得 江苏于新华：当然事后也可以勉强解释，因为如果满足一次关系的话，根据三角形三边关系，可以消掉一个变量，一定可以得到两个变量之间的大小关系。而事先的条件没有这一点。 泰州韩新正：数学结论的发现本就是天才的顿悟，不要指望每个环节都自然流畅 江苏于新华：启发引导：要求边长的大小，等价于只要求边长的平方，等价于只要求以此边为边长的正方形的面积。 继续前面讲解：
那么如何求解这个正方形ABDE的面积呢？ 江苏于新华：这里有两个问题需要作出阐述说明： ⑴在格点背景下，学生会画出以已知两个点为端点的正方形吗？ ⑵在格点背景下，学生求解多边形面积的技能如何？ 了解学情是我们教学的出发点。先解释第一个问题： 在“勾股定理”教学之前，教材中有大量网格背景下画平行与垂直的问题。 这里我们以“苏科版”教材为例，列举教材中相关题目：       这里我想告诉老师的是，学生在网格背景下，画出正方形的能力大体是具备的。 下面我再解释第⑵个问题：⑵在格点背景下，学生求解多边形面积的技能如何？ 江苏于新华：一般来说，教师马上知道，在网格背景下求多边形的面积是采用“割补法”。 浙江姜黄飞：于特很关注学生的已有认知。 江苏于新华：我的个人观点是，我从来只讲“补”的方法。 江苏于新华：要知道，在一定范围下，对于容易的问题，应当追求“通性通法”。 江苏于新华：那么在格点背景下，求多边形的面积的“通性通法”是什么呢？ 所谓“通法”，应有两个特征：⑴学生容易掌握；⑵这种方法，“包打天下”。在苏科版教材中，提供了如下两幅图： 这两种方法看似对等的，但在我心目中，第一种是“通法”，第二种方法有点让人“忐忑不安”。正好是正方形，如果是不规则图形，可能要费脑筋。但“框图法”是“死”的，操作性极强，“傻瓜法”。 江苏于新华：我给出的名称是“框图法”。 江苏于新华：举例来说。假如要求下面这个图形的面积： 常州王震伟：框图学生易学易掌握 江苏于新华：我会教学生：不管三七二十一，沿每一个顶点“横竖框图”。 江苏于新华：得到这个图： 最左最右画竖线，最上最下画横线，内有分点相同画，框图大法自然现！ 江苏于新华：这样求任意多边形面积而言，计算面积的“算法”是不存在任何问题的。 江苏于新华：只是运算细心，是否做对的事情，而不存在不会做的说法。 江苏于新华：“框图法”，没有“割”的动作。“框图法”几乎不用动脑筋。有“割”有“补”，想得累人的。我不想复杂，还是单纯一点好。学生容易掌握。 江苏于新华：事实上，在格点背景下，求解多边形的面积，正如前面有人指出，学生在小学里就掌握了。 这里我们以“苏教版”教材为例，列举教材中相关题目： 为了这个讲座，我将小学12册数学册教材全部翻了一遍。 江苏于新华：下面继续接着前面讨论。
学生要求这个面积。会立即画出如下图形：
这是极为自然的。 西安墨菲：扎实、严谨 江苏于新华：从而将面积求出，为25，因此求得边长为5。 漳平林福凯：自然！一气呵成！！ 自然生成 江苏于新华：下面讲解教学过程的第3个环节：3．深度推进 江苏于新华：严格意义上，上述解法只能对于两直角边长均为有理数（即两直角边的边长可公度）才行。 因此，我提出新的问题促进学生思考： 提出问题：假如没有格点背景，你能够求出直角三角形中在已知两直角边长情况下的斜边长吗？ 前面的格点背景相当是辅助线，只是一个铺垫而已。 信阳敖勇：以网格为背景由等腰直角三角形过度一般直角三角形后，再去掉网格，符合学生认知规律 江苏于新华：在学生体会到成就感的基础上，教师继续带领学生往前推进。 漳平林福凯：陶醉其中，思悟其内！享受于特精彩！ 江苏于新华：能够解决具体数字的问题，固然可喜，但相比一般情况，终究价值有限。 漳平林福凯：拾级而上，层层深入！ 江苏于新华：于是我提出，
在这个图形中，假如a与b已知了，你会求c吗？ 江苏于新华：这个时候，肯定有许多学生立即类似模仿画出下图：
江苏于新华：为了求面积，进一步画出下图：
在前面基础上，适当计算求解，得到结果：
常州王震伟：非常棒的设计，我有点会上这堂课了 漳平林福凯：特殊到一般，模拟操作赞经验，通行通法悟门道 江苏于新华：将前面的探究过程概括一下：①从有网格背景→无网格背景；②从特殊情况：3，4，5→一般情况：a，b，c。 江苏于新华：大家有没有注意，这里推理勾股定理所采用的图形并非“构造”而来，而是由于计算的需要，非常自然合理地得到。 而传统教学设计中，往往将以三边向三角形外构造的正方形全部作出来，然后不是在此基础上进行验证性地说明，就是开展暗示性的虚假探究。不管哪一种做法，都是潜在地依据勾股定理的结论而进行教学，显然这并不是真正的探究。 江苏姜鸿雁：先给脚手架，待学生长出翅膀后，再拆，然后飞吧！ 漳平林福凯：构造虽然美妙，但曲高和寡，并非能够为大众所掌握。经典语录！ 江苏于新华：这里的教学设计中，由于将对“勾股定理”的探求理解成是一道求解题，仅仅只要作出以斜边为边的正方形即可。虽然这一个步骤仍无法回避有人质问其中的合理性，相对来说，除了前面解释外，还有两点可以说明：⑴既然无法真实探究而得，那么就“教育加工”层面，就无法回避“主动引导”；⑵为了求出斜边长，退而求次，只要先求出以斜边为边的正方形的面积。不排除因为苦苦思索，而“顿悟”产生信息拓展，这种可能性还是很大的。 徐州张平：解决了问题生成的自然，依然没有解决“问题解决”的自然，有些道而强牵 江苏于新华：高潮快过去了，下面只是一些教学细节，也是其他教师在教学过程中所忽视的。很有意思。 江苏于新华：继续向纵深推进： ⅰ结论的几何意义：
你能否将这个结论，从几何角度，寻找一种新的理解？ 苏州陈新合：数形结合的 江苏于新华：激发学生说出：这个结论意味着，以两直角边为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形的面积。 苏州陈新合：互相印证了 江苏于新华：ⅱ自然地，受结论的启发，有无直接从面积角度入手的其他证法呢？ 激发同学们课后研究，或者阅读一些与勾股定理相关的科普材料。 江苏于新华：下面我讲解教学过程的第4个环节：4．文化欣赏 江苏于新华：在教学过程中，我是采用下面的语言抒发对勾股定理的困惑与欣赏： 问题的提出是那么自然，探究却是如此艰难，最后的结论却又是如此优美。后人将其称为“几何明珠”，讴歌其是“千古第一定理”。几千年来，多少人为之着迷。由于她的迷人魅力，千百年来，人们冥思苦想给出近400种证法。 ⑴“勾股定理”在我国历史上曾被称为“商高定理”、“陈子定理”， 在《周髀算经》一书中，曾记载商高与周王（姓姬名旦，武王之弟）的对话。 《周髀算经》中指出：“昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度（作天文测量和制订历法）。夫天不可阶而升，地不可尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。” 商高指出夏禹治水（大禹治水，约在公元前21世纪）时已经知道用3：4：5的办法构成直角三角形。 《周髀算经》：约成书于公元前1世纪，中国古代天文学著作。周公：公元前11世纪周武王之弟，姓姬名旦。 在国外又称为“毕达哥拉斯定理”、“百牛定理”。无论是中国人发现的好，还是外国人发现的也好，都是人类共同的财富。 漳平林福凯：解决问题:数学知识解决建模一一∵Rt△面积直观浅显，∴思构（网格）面积割补法，∵Rt△可思构矩形面积，∴思悟面积割补法（矩形“一半”），∵Rt△有特例等腰Rt△←→正方形“一半”，∴以 特例等腰Rt△为例实现猜想结论探究，树立探究结论自信、思想、方法、策略。→一般化:拼构正方形（正方形是四边形最特例，其性质直观显然易得），以中国举办的第？届国际数学家峰会会标为典例得出结论（爱国主义教育），介绍国际证明勾股定理典例，其中以美国某总统命名的证法（前人研究），水箱动态验证法（现代技术）…… 江苏于新华：下面讲解第2点 ⑵有趣的是，美国第二十任总统加菲尔德曾于 江苏于新华：⑶华罗庚的建议，“宇宙中交流的语言”。 我国著名数学家华罗庚曾提出用“勾三股四弦五”图与外星人进行沟通交流，这个图形是几何明珠“勾股定理”的象征。选择数学图形作为与外星人交流的媒介，是因为数学研究的是世界中最本质的客观规律，这些规律与星球上是否存在生命无关。它们是真实地、永恒地存在世界上，是整个宇宙间的共性。对我们地球上的人类来说，这些规律无论有没有被揭示出来，我们都不能否定它们的存在。因此，数学可能是一种全宇宙的共通语言。 苏州陈新合：这个事情了解的还真是不多的 江苏于新华：因为数学研究的是世界中最本质的客观规律，这些规律与星球上是否存在生命无关。它们是真实地、永恒地存在世界上，是整个宇宙间的共性。对我们地球上的人类来说，这些规律无论有没有被揭示出来，我们都不能否定它们的存在。 江苏于新华：⑷爱因斯坦的证法 著名科学家爱因斯坦与意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇都曾分别给出了勾股定理各自的证明方法。有趣的是，网上有一位署名为“东郭先生”的作者，曾以诙谐幽默的笔墨将爱因斯坦的证明过程写成如下： 假设直角三角形三条边为a，b，c，过直角顶点作斜边c垂线，垂足为D。假设原三角形面积为E，根据相对论，E=mc^2。同理，内部分割出来的两个小三角形的面积分别是E(a)=ma^2，E(b)=mb^2。因为内部两个小三角形拼成原三角形，所以E=E(a)+E(b)，也就是mc^2=ma^2+mb^2。两边约掉m，就得到了勾股定理c^2=a^2+b^2。 江苏于新华：说上面证明过程诙谐幽默，在于“根据相对论”五个字上。大家知道，爱因斯坦曾幽默地用女孩与火炉比方相对论。而直角三角形的斜边与光速的记号通常都是c；E是能量，德文中平面一词也可用E开头，这就有点双关之义了；m在物理中表质量，这里表示比例系数；而恰为爱因斯坦的质能方程式。这么几点合起来，确实很有意思。 江苏于新华：由于原来大直角三角形与剖分得到的两个小直角三角形彼此相似，因此它们的面积与斜边平方对应成比例，证明过程中的m即为每个直角三角形面积与斜边平方的比值。 2006年，江苏省初中数学评优课在我区湖塘实验中学举行，其中比赛的一节课题就是“勾股定理”。适逢我与江苏教育出版社沙国祥老师在一起聊数学文化，他是数学大神，也是我仰拜的对象。 江苏于新华：我兴冲冲地告诉他，昨晚我想到“勾股定理”一个绝妙的证法。 江苏于新华：他连忙说：巧啊，最近我也想到一种方法了，你说说看呢，你我二人是否想到一块儿了 浙江姜黄飞：“于”味正浓，爱因斯坦、达·芬奇都是神人，达·芬奇的证明方法也很漂亮 江苏于新华：我当时就说：勾股定理结论的正确性，在我眼里，就是显然的。那是“鱼翔浅底”的感觉。 江苏于新华：他问：为什么？ 浙江姜黄飞：万物相通呀 江苏于新华：我说，作出斜边上的高，得到的两个小直角三角形的面积之和就是原来的大直角三角形的面积。 徐州丁海科：就是，为啥？ 江苏于新华：而面积是可以用边的平方度量的 这三个直角三角形是相似的，原直角三角形的三条边分别是三个直角三角形的斜边，它们是对应边。
所以“勾股定理”是显然正确的。 西安墨菲：射影定理证明 江苏于新华：沙老师听后大笑：真巧，我也是这样想的。奇怪，难道冥冥之中，真的有一股神的力量，让我们两人不约而同想到？！ 江苏于新华：后来才知道，“似是而非”的爱因斯坦的证法，其实本质与我前面所说的想法是一致的。 男风141：英雄所见略同 江苏于新华：关于数学文化，再说最后一点。 江苏于新华：⑸著名的“费马大定理”就是勾股定理的推广问题。这也可以讲出许多故事。这里略了。 江苏于新华：第5个教学环节：5．巩固运用（略） 江苏于新华：最后讲第三个方面：三、教学感想 ⑴重视“提出问题” 现在的课标中也非常重视这一点，加进这方面内容了 其实这个不仅是素质教育的要求，而且不回避地说，对你的应试作用也很大。 漳平林福凯：勾股定理逆定理能否与此同课并上？！ 江苏于新华：发现问题，提出问题，感受问题产生的合理性。 这里，我需要强调的是：“可以求”与“如何求”是两个层次。 安徽阜阳刘国超：于特风格，爱氏风格 江苏于新华：学生能够提出问题就是一个能力，至于会不会解决问题，那是第二个能力。 漳平林福凯：同课并上：类比逆向探究得出勾股定理逆命题正确性。→化归结论:勾股定理及其逆定理。→运用（直接→间接，正向←→逆向）… 徐州张平：关键如何教学生提出问题是个难点 江苏于新华：下面讲解“教学感想”的第2点： ⑵反对虚假探究 这里举一个高中数学教材中的例子。 漳平林福凯：“四能”：发现、提出、分析、解决问题能力。分析、解决问题能力属于制造，发现、提出问题能力属于创造。 江苏于新华：比如说，对于一个△ABC来说，当AAS知道了，那么这个三角形必定可解。 a与∠A已知，出于“地位对等”思考：如何求∠B所对的边长b呢？ 大家有没有注意：这个问题的提出是非常合理的。 徐州张平：这样的讲座有利于我们对于数学教学的认识，期待于特更多的引领 徐州丁海科：合理呀 江苏于新华：AAS已经使△ABC确定了，要求b的长当然合理啊。 即使在初中，解决这样的问题也不困难。如果出现钝角，只要考虑其补角的正弦值。 江苏于新华：现在我们来看这本高中数学教材是如何编写这一段内容的： 请大家注意：这是如何猜想的？你能够看得懂吗？ 这是从直角三角形中三角形函数的定义出发，然后适当变形，最后提出了“正弦定理”的一般形式。 盐城李建华：为结论，不合情 江苏于新华：不清楚，大家觉得这个过程是否合理。 盐城李建华：我与你观点相同。 江苏姜鸿雁：从小学、初中、高中教材，于特不仅在传授教学策略，还在向我们展示治学方法 江苏于新华：然后再“假惺惺”地在电脑中验证一下 江苏于新华：最后提出猜想 男风141：验证不可以吧 苏州陈新合：这个是验证，不是证明 江苏于新华：不管怎么说，我是非常不赞同这样的教学设计。不多说了。 科学研究中有许多思想方法既是非常朴素的，也是非常深刻的。比如“确定性思想”，在确定性思想下，无论对小学生，还是初一学生，提出：对于一个三角形，当边角边确定时，整个三角形为之确定，剩下的一条边长一定可以求，但如何求呢？这样，在很早的时候就可以激发学生的好奇心与研究的精神。 由于勾股定理知识的特殊性，而问题是可以非常容易合理地提出的 因此我个人建议：勾股定理的问题完全可以及早提出来让学生思考，而没有必要等到快要教勾股定理的前一天，再让学生思考。 我的另一个观点是：对于本节课是否需要自学的看法 我个人坚决反对简单看书与事先看到结论的预习！在我看来，科学的预习方式，可以在学生感受问题合理性的基础上，将这个问题视为一道“题目”让学生去探究。至于学生能否探讨得出正确结果，那并非关注的重点，只要让学生经历这种好奇与探究过程就行。 我常常对老师是这样说的：除非你不理解数学，除非你不喜欢数学，除非你不知道什么是数学探究，除非你无可奈何，没有自己的思考，否则“勾股定理”这一节课，你是怎么也不会愿意让学生先看教材自学的。 在学生自学后，你可以通过各种方式说明这个结论是正确的。但没有自学时，随你怎么努力，哪怕你做一辈子梦，也无法得到这样的结论。我曾多少次扪心自问，假如我事先不知道勾股定理，或许我一辈子也发现不了她。在这个问题上，任何人都难以做英雄。当然不排除上帝会给某一个人的“顿悟”机会，赐予他灵感，让他偶然发现。 为了很好地体现勾股定理的探究过程，我将不惜代价，哪怕一节课没有任何常规练习都无怨无悔。当然如果是评优课，那另当别论。 苏州陈新合：是的，很难想到的 淄博耿化彪：毕达哥拉斯做到了 江苏于新华：下面讲教学感想的第4点：⑷整体教学观念 如果你认可上述的设计过程，那么在格点背景中“求多边形面积”以及“如何画平行与垂直”，包括如何求两个格点之间的距离，你会自然及早强化。与其技巧扎堆喷发，不如循序渐进布局。 江苏于新华：有了这些基础上，再让学生独立探讨勾股定理，自然要容易得多了。 江苏姜鸿雁：整体的教学观 江苏于新华：所以教师要做一名有心人，有整体教学的意识。这样，教师教学时，才不会将“从学生原有的知识基础出发，寻找新旧知识生长点”这一句话沦为空话。 江苏于新华：⑸也谈“有效的课” 江苏于新华：谈谈我的粗浅认识 我个人理解，可粗糙地作一个分类，分为两种：一是创设情境，让学生有意义地接受新知；二是设置问题，让学生在积极探究中力求解决问题，从中学生学习新知。 现在有许多人，听到“接受”往往就会皱眉头，认为这是品味不高的课，不符合新课程理念；认为从头到尾充满“探究”的课才是理想的课，才是符合新课程理念的课。 西安墨菲：整体教学观及长远的数学规划意识很重要！ 徐州张平：台上三分钟，台下千日功 苏州陈新合：系统的整体的把握知识，有目的的逐步渗透 漳平林福凯：力争做一名有心人的数学教师——致自己 江苏于新华：其实这种理解是有误区的。应该承认，我们平时大多数课都是采用“接受”方式让学生学习新知的。不管到哪一天，“接受式学习”仍是学习的主要形式。 浙江姜黄飞：教育的成功与否，需要长周期，长时间来检验 江苏于新华：关键在于你如何让学生“接受”，是“灌注”，还是“有意义地接受”，这还是有讲究的。 江苏于新华：⑹阅读数学文化 漳平林福凯：“慢”教育方有“真”成长！ 江苏于新华：勾股定理作为一条古老的数学定理，具有如此悠久的历史，为什么几乎所有的文明古国在不同时期、不同地点都能够发现这样的结论？ 从世界四大文明古国数学发展的历史可见（中国，印度，埃及，古巴比伦），人类早期的数学实践是十分相似的。人类的祖先在不同的时期、不同的地点发现的勾股定理，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产，而是全人类的共同财富。 我要强调这一句话：人类早期的数学实践是十分相似的。不要有狭窄的民族主义，这没有意思。 苏州陈新合：数学语言应该是世界最通用的语言了 漳平林福凯：“大”教育观 江苏于新华：我的理解是：勾股定理问题的产生极其自然，因此这里更多是各个民族相继互相独立发现的。 江苏姜鸿雁：因为是全人类的，所以才有强大的生命力 苏州陈新合：有不少文章在讨论勾股定理到底谁最早的，感觉这个没有什么意义。 江苏于新华：过于探讨谁先谁后是没有意思的。 可以想象，“勾股定理”在历史上被发现，必定是“时间积累”与“灵感降临”这两个效应叠加的结果。 虽然勾股定理早为众人所知，但假如现在有一位学生经过自己独立探究，最终得出了勾股定理结论，那么这在我眼里，依旧是一个让人无比激动的伟大发现，虽然勾股定理早为众人所知。 江苏于新华：好的。今天讲座到此为止。感谢各位倾听。感谢大家支持。 常见问题： 加我微信的时候，请附上“地区+姓名”信息，方便我保存。谢谢。 5.多少人参加会议。我上传几张现场照片……，权当解释，顺带宣传。
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