二次函数与二次方程

        二次函数是初中数学学习的一个重点，也是一个难点。由于它的特殊性，很多同学对它都非常畏惧。但其实，只要掌握了二次函数的基础知识，并能熟练运用二次函数的性质和图象来解决问题，就会发现二次函数其实也没有那么可怕。

首先我们要明确一下，二次函数是一种特殊的方程。根据二次函数图像中有三个点，且每一个点都是该方程的解集，我们可以把二次函数看做一个方程，可以把它叫做二次方程。

1.二次函数

二次函数的定义：函数图像关于y轴对称，且实数a,b都大于零。由定义可知，函数在x轴上的截距为-b，且y=a （x-b）在x轴上的截距为-1,故二次函数的图像是抛物线。

注意：（1）二次函数的图象与x轴、y轴都平行；（2）图象在x轴上是一条水平线，在y轴上是一条垂线；（3）函数的图像与x轴、y轴交点的横坐标与纵坐标的值相等。

二次函数一般式为：y= ax²+b (a≠0)，其中a、b分别为自变量，x为因变量。由于自变量和因变量之间的关系是两个独立变量之间的关系，所以二次函数图象和x轴、y轴都平行，且常数项a、b、c只和自变量x有关。从二次函数的定义可知，二次函数是一种特殊的一元二次方程。如果要表示出一个未知数所对应的函数值与自变量之间的关系，就需要画出相应的二次函数图像。

2.二次方程

二次方程，就是含有未知参数的一个等式。根据二次方程的定义，我们可以用代入法解出参数a、b、c，然后再用解出的参数，来解二次方程。

例如，一道题：

（1）求一个已知的二次函数解析式；

（2）将一个实际问题中的一个点代入上述二次方程中，使该方程有唯一解；

（3）若该函数在某点的函数值为0,则说明该函数的解析式为-x^2+y^2=0。

二次方程有两种常见解法：

（1）直接用代入法解二次方程。也就是把方程中的未知参数代入已知方程中，从而得到了一个新的方程。

（2）当我们求出了一个二次函数的解析式后，如果我们将已知函数在某点处的函数值代入以上二次方程中，使该函数有唯一解，那么这个新的二次方程就是我们所要求解的。

如果是求出了一个未知参数x、y，我们可以将它代入已知二次函数的解析式，从而得到一个新的方程。

3.常用二次方程

二次方程组可以用代数法求解，但有个前提，就是需要知道二次方程组的解。如果二次方程组只有一个解，那么就可以利用实数集的性质求出它的解。例如：（-2）（+2）=1-x+b，就可以写成两个实数集的交集（x+b），然后再把两个交集（x+b）分别代入到方程组中求解，即可求出二次方程组的解。

二次方程组的解用代入法求解是很简单的，但还有一个问题需要注意。就是要知道二次方程组的解对应的实数集的范围。如果实数集与方程组解集不一致，那么这个方程就没有意义。例如：-2 (-2)=1-x+b，这个方程没有实数集，它的解对应的实数集是2,所以这个方程没有意义。