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这两天，在听"线段、射线、直线”的内容。作为几何知识体系中的概念，线段、射线、直线可以说是一节“种子课”，但又是挺难的一节课。在课堂中，经常会出现一些难以解释的生成问题。 在欧氏几何里，是这样描述点和直线的：“点不可以再分割成部分”，“线是无宽度的长度”，“直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺。”直线是原始概念，线段、射线都是基于直线而产生的，所以先教直线再教线段和射线，这符合欧氏几何的知识逻辑。 一般教材，都是将线段作为原始概念，由线段出发，引出射线和直线，并加以定义。这样的编排是有一定道理的。因为直线过于抽象，低年级学生不好理解，而线段相对抽象度不高，可度量，能找到一些“生活原型”等，所以适合在低年级先行教学，随着学生心智发展，中高年级再学习抽象度高的直线和射线，这样的编排更符合小学生的认知逻辑。 说到欧氏几何，就不能不谈欧几里得和《几何原本》。《几何原本》是两千多年前古希腊数学家欧几里德的著作，也是欧氏几何的由来。它的“厉害”之处在于构建了几何学的公理化体系，把之前零散的几何知识进行了系统化，这在数学史的发展过程中意义重大。 欧几里德就是通过相应的定义（点、线、面等）、5条一般性公理和5条几何学公理，来推导出了书中后面的400多个定理。 一些我们熟悉常用的公理就来自于此。 五条一般性公理 （1）等于同量的量彼此相等，即：a=b，b=c，那么a=c； （2）等量加等量，其和仍相等。即a=b，c=d，那么a+c=b+d； （3）等量减等量，其差仍相等。即a=b，c=d，那么a-c=b-d； （4）彼此能够重合的物体是全等的； （5）整体大于部分。 五条几何学公理 （1）过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）； （2）一条有限直线可沿直线继续延长； （3）以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)； （4）所有直角都彼此相等； （5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一侧内角之和小于两只角和，那么这两条直线在这一侧必定相交。 教师对于这些公理的了解，有助于更好地理解教材，或者有助于去解释课堂中出现的“生成问题”。 在认识完线段后，把线段的一端无限延长引出射线，然后教师让学生举出生活中射线的例子。 这个举例子的环节，孩子们七嘴八舌，有的同学认为电灯射出的光是射线，却有同学说：“射出去就被房间挡住了不能是射线。” 有的同学认为：太阳射出的光线是射线。有的同学认为，光线找到地面上就不能延伸了。还有的同学认为有些光线粗细也不同。 …… 这样，一下子全班热闹了，大约5、6分钟一直争论不休。上课老师也很无奈，只能含糊其辞地加以解释，一带而过。 上面的画面是真实出现的。与其它几何图形不同，射线和直线在生活中就没有真正的原型，所以的确很难举例。 书本中为了给这个抽象的射线以具体直观地感知，一般都是配上手电筒或车灯照出的光线。并配上这样的文字：“手电筒或探照灯等射出来的光线，都可以看作或近似看作射线。”
俞正强老师就曾在《让老师崩溃的“线的认识”》一文中举例了类似于上面饿生成问题，弄的老师很崩溃。 有些概念有明显的现实原型，但有些概念的形成往往包含理想化的过程，可以进行一种思维创造，借助数学语言和想象力，在头脑中感受和建立射线的表象。 在过一点可以画几条直线的教学过程中，也发生了这样的问题。老师让孩子去经过一点画直线，看谁画的多。然后问：如果让你一直画，你能画的完吗？ 有孩子认为画不完，认为可以有无数条。 也有孩子反对，只要给我时间，总会能把这个地方画满的，都画满了虽然很多，但也能数出来。 …… 那过两点可以画几条直线呢？根据欧氏公理第一条，“过相异两点，能作且只能作一直线。” 可就会有学生认为：我可以画出两条或很多条。原因就是他画的点是比较大的，导致可以从上或下连出几条直线。 这里，点无大小，线无粗细，这也是欧氏几何中的原始概念和规定。所以几何课中一些学生的生成问题，真的是教难解释，这也需要更好地预设和提问，需要教师更多教学智慧，以及更严谨地进行教学表达。 另外，生活中的“直线”和数学中的“直线”也容易造成混乱。生活中的“直线”相对曲线来说，一般指的是数学中的线段，一般可度量。而数学中的“直线”无限长，没有端点，内涵也不同。所以，在学生进行表达时，要注意纠正孩子语言中的错误。 “射线是直线的一部分”，这句话是对的。因为在一条直线上取一点便得到两条射线，学生也容易理解。 那“直线比射线长”这句话对吗？这是本节课一道选择题里的选项，不少孩子都认为“直线比射线长”是正确的。 对于小学生来说，射线是一端延伸，直线两端可延伸，就会有这样的“误会”。究其原因，就是在有限量比较中“整体大于部分”是正确的，但这个经验不适用于无限量的比较。 当然，对于学生来说，由于射线和直线都无法度量，所以两者无法比较长短，这样的认识就可以了。 但对于教师来说，需要知道这里的道理。如果借助集合来思考，把直线和射线看作是两个不同的点组成的集合，由于射线集合中的元素都包含于直线集合中，因此射线集合就是直线集合的一个真子集。而且它们中的点可以建立一一对应的关系，所以不能说“直线比射线长”。这就好比在比较“偶数和自然数哪个多”一样。 最后，还要注意概念和概念表征的区别。 比如，在表示线段，画一条线两端都标上端点； 在表示射线，画一条线只在一端标上端点； 在表示直线，画一条线不标注端点。 这里有学生就有疑问：“射线和直线都是无限延伸的，怎么能画出来？” 这里需要和学生进行解释，这里的概念表征方法是人为规定的，因为无限长是画不出来的，所以通过是否标注端点以及标注几个端点来分别表示线段、射线和直线。 像这样让老师难以处理的“生成问题”你遇到过吗？ |
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