高中数学的高阶学习能力培养从特殊到一般

   本篇不是教会你这道题如何解，而是教会你面对自己不熟悉的题目，应该如何进行观察和思考，不断进行经验积累。做完一道不熟悉的题后，不要将其放在一边，而是要深挖解决这道题的最为核心的东西，更要引申至使用的数学思想。只有这么做才能学好数学，错题本就不会越做越厚！进而在高考中取得令你满意的成绩。

   然而，一般方法运用到特殊方法，容易理解。即所谓的公式套用。而从特殊归纳出一般的方法确实较难。但这也是学霸所掌握的方法。如果想高考数学能出类拔萃，那就掌握它。下面我们就通过一个小题，讲一下如何掌握从特殊到一般的方法和思维过程：

    昨天一位同学发来一道数列小题，我觉得这道小题很具代表性【可以作为专类题】，也比较有趣。我们来看一下：

    题目：若数列的递推式为：an+1=(2/an )+1，a1=3；求an ；

自己拿出10分钟的时间进行思考，把思路全部记录下来。

。。。。。。

自己探索时间到了，接下来跟上我的思路，来做一下。

第一步、观察该递推式。我们发现an处于分母上。

第二步、处理处于分母位置上的的递推式的方法都有哪些

1.  特征根：形式很难化归到使用特征根的形式【要求是齐次系数】

2. 累乘法：含累加、除、乘法，直接套也套不进去

3.  待定系数法：an处于分母上，难处理

4.  分式裂项：裂不出来

5. 取倒|对数：含常数项，也不能使用

6.  构造法：到此为止，也只好化归转化了

    对于递推式an+1=(2/an )+1，首先我们可以确定的是尽可能不将分母移到左边，主要考虑会升次，不好处理。我们考虑选择对其先通分进行观察，an+1=(2+ an  )/an

    高中的数列求通项的基本原则就是化归成等差、等比数列，因此我们就有了基本的解题方向。

    分母有an的式子，我们想一下，那些方法可以将其消除。前面说了，本题尽量不要移到左边。那只有构造两式相除才能约掉。

    构造两式，要有目标【化归到等差等比的形式】，我们在递推式的两边增加常数项，一般选取【-2,-1,0,1,2】，目的是凑成{an+n }。递推式的右边2+ an，若在等式两边各加2，不合适。

1. 那么加以1试一下，an+1+1 = 2（1+ an)/an ①式，出现想要的形式了。
2. 同理构造第二式子时，等式两边都加-2，an+1 -2=（2- an )/an ②式。
3. ① /② 得到了关于{an+n }的关系式，是一个等比数列，将a1 带入即可得到通项公式。

    到此为止，基本解完了。对照一下本篇开始让你记录的思路。用到你没有学过的知识吗？没有。做不出来的原因是什么？第一没有经验。第二对于分母含变量的消除方法没有做到灵活运用。第三对于构造形式没有目标。这就是自己欠缺的部分，找一些专类题目进行巩固和数学思维训练。将其补牢，并能进行灵活运用。

    高一和高二以及第一轮复习注重的数学思维训练和解题方法的归纳总结，可以适当的牺牲做题效率，每做完一道题，都要进行反思一下，并进行举一反三。

    以本题为例，首先考察了数学的化归思想。其次，对于分母含有an ，形式的处理。这时候就要总结一下，分母含有变量的处理方法都有哪些。不仅仅局限于数列部分，函数部分特别是不等式部分，分母含有变量的处理都是十分重要的。

   对于本题而言，如果使用构造法感觉存在硬凑的成分，那么考虑一下数学归纳法。切记！方法穷尽用归纳！归纳法解决本题还是不难的，主要是a1=3对本题来讲算是一个特殊值。但如果这是一道多选题，不给出第一项，那只能使用构造法来构造处理。