高考数学卷压轴题命题模拟

      根据目前的高考的创新和实际应用要求（实际上就是检验自我的学习能力），高考数学卷中会出现一些对于大家来讲较为陌生的概念。而大家在遇到新概念、新名词后在高考紧张的环境下，往往更加紧张，对其理解的程度会大大折扣。所以，大家在平时要刻意对新的名词、概念进行了解和练习。本节后面例2中的第三问，打破常规考法是有一定的难度的。

以下通过模拟命题过程说明：

给出情景的概念定义

递归函数定义：

     对于某一函数f(x),其定义域是集合A,那么若对于A集合中的某一个值x0,其函数值f(x0)由f(f(x0))决定,那么就称f(x)为递归函数.

不动点定义:

    函数的不动点,是指被这个函数映射到其自身的那些点。其数学语言描述为:对于函数f(x),若存在定义域上的某个x0,使得函数f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的一阶不动点.

稳定点定义:

      若存在定义域上的某个x0，使得函数f(f(x0))=x0，则称x0为函数f(x)的二阶不动点，即稳定点.

      函数的不动点,是指被这个函数的函数映射到其自身的那些点。那么再继续迭代下去会出现什么情况呢？自己思考一下.

推论:对于稳定点,若f(x0)不等于x0,则点(x0,f(x0))和点(f(x0),x0)关于直线y=x对称。

高考命题类型

稳定点，不动点通常出现在数列迭代或者函数迭代的问题中！

给出的定义概念的理解：

先看以上定义，重点信息有哪些？

递归函数：y=f(f(x))

不动点：y=f(x0)=x0

稳定点：y=f(f(x0))= x0

定义中还给出了两个名词“一阶”和“二阶”，可以理解成调用次数，即f(f(f(x0)))为“三阶”

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重点清楚了，逻辑理顺了，我们再看一下下面的题目：

例1：若函数f(x)单调递增，则其不动点与稳定点完全等价。

解析：首先要弄明白完全等价是什么意思？即不动点与稳定点是同一点。其次要证明是同一点。就用反证法，证明不是同一点。

证明：若函数y=f(x)有不动点x0，显然也有稳定点x0；

若函数y=f(x)有稳定点x0，即f(f(x0))=x0，设f(x0)=y0，则f(y0)=x0，即（x0,y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上·

设x0>y0，因为y=f(x)是增函数，则f(x0)>y0，即y0>x0，与假设矛盾；

设x0<y0，因为y=f(x)是增函数，则f(x0)<y0，即y0<x0，与假设矛盾；

故x0=y0，即f(x0)=x0，y=f(x)有不动点x0.

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高考数学题，出的题目灵活多变。以下这道题的第三问，是有一定难度的，通过需要多次放缩进行证明，打破了常规考法，自己做一下一定会有所收获。

例2：数列{an}满足a1=a，an+1=-an^2+3an-1,

求证：①a！=1且a！=2，数列{an}单调递减。

          ②存在使得无数个自然数n，使得an+1=an，求a

         ③当a=3时，数列{bn}，令bn=1/（an-2）,求证1/2<Sbn<1的范围

解析：题目给的是一个数列递推式，简整理一下，an+1-an=-（an-1）^2.

对于第一问：我们可以借助函数的单调性，先求出an关于n的通项，对于这道题目显然不好求。我们在回顾一下函数单调性的基本定义：只需证an+1-an<0即可，根据化简的式子，满足。

对于第二问：an+1=an，显然是一个常数数列，即an=a，带入题干给出的等式，解a=-a^2+3a-1，即可。

注意，这里有一个陷阱，就是直接利用an+1-an=-（an-1）^2，得出an=1=a.思考一下忽略了什么呢？

对于第三问：求和的范围，我们快速回顾一下，貌似裂项求和，仔细研究发现并不不能直接使用。方法穷尽用归纳，充分利用题干信息进行转化放缩！

解：对于bn=1/an-2,当a1=a=3时,b1=1,a2=-1,b2<0,根据{an}为单调递减，可知Sbn<1

再证1/2<Sbn，当n≥2时，令dn=-bn=1/(2-an)，利用已知条件：2-an=3-3an-1+an-1^2  且an≤1

则2-an=（1-an-1）(2-an-1)>0,对1/(2-an)进行放缩：

1/(2-an)<1/[(1-an-1)(2-an-1)]=1/(1-an-1)+1/(2-an-1)<1/(1-an-1)

1/(2-an-1)+1/(2-an-2)<1/(1-an-2)+1/(2-an-2)=1/(1-an-2)

故：Sbn<1/(1-a2)=1/2

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归 纳 总 结

     解答高考数学题，遵循以下原则，解题速度和准确率会有很大的提升。

拿到一道数学题后，不要急着下笔。思考几分钟是很有必要的！怎样思考呢？

1. 看题干的重点信息，以及隐含信息，将其归类到高考的题型。
2. 理清问题与给出的已知条件的内在逻辑关系。
3. 根据逻辑关系提取该类题型之前总结的、学过的方法。