虚数可不是数学家用想象构造出来的（虚数真的一点都不“虚”）。事实是，虚数对我们生活的影响远超过任何只是想象出来的东西。虚数在现代世界有着重要作用：把电送进家庭、工厂还有网络服务器集群，如果没有虚数，那么现代世界将不复存在。同学们在向数学老师抱怨学习虚数没什么意义之前，不妨试试放下手机，关掉音乐，拔掉宽带路由器，要知道，这些东西都是需要虚数才能工作的。但或许我们应该先解释一下什么是虚数。
我们知道如何计算一个数的平方(用它自己乘自己)，我们还知道负数的平方是正数；负负得正，还记得吗？所以(–2) × (–2) = 4。我们还知道平方根是平方的逆运算。所以4可能的平方根是2 和 –2。虚数就来源于思考–4的平方根应该是什么。
我们在这里发现的，不是什么宇宙深处的奥秘
这个问题真的是无意义的吗？如果你算一个数的平方，无论这个数是正数还是负数，结果都是正的，所以你不能对一个负数开方。这正是亚历山大里亚的希罗(Heron of Alexandria)思考的事情。希罗是一个埃及建筑师，他的数学技巧写在了《立体测量学(Stereometrica)》一书中，这本书为圣索菲亚大教堂的穹顶设计提供了理论指导。也是在这本书中，他给出了如何计算截角四棱锥的体积，截角四棱锥，就是削去顶角的四棱锥。他对一个例子的求解过程涉及对225减去288的结果开方。但这个结果是一个负数: –63。所以这个问题的答案要通过计算来得到。
出于某种原因——无论是感觉存在一些错误，还是有人抄错了某些东西，或者因为它太荒谬——现存的手稿显示希罗忽略了负号，给出了答案。
负数的平方根就是我们现在所说的虚数。第一个提出人们不应该忽略虚数的人是16世纪的意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺(Jerome Cardano)，他开始了一个宏伟的工作：写一本详细介绍他那个时代所有代数知识的书。在钻研三次方程的问题时，他停住了脚步并审视这里面虚数的问题。刚开始，他将其称为“不可能的情况”。在他1545年关于代数的《大术(The Great Art)》一书中，他给出了一个例子：尝试将10分成两个数，并且这两个数相乘等于40。在寻找这样的数的过程中，你可以遇到5 + 。
卡尔达诺并没有回避这次意外的发现。事实上，他甚至还记下了一些对此的想法。然而他用的是拉丁语，译者们对于他的实际意思产生了争议。一些人认为他写的是一个“错误的点”，一些人认为他写的是一个“虚构的数”，还有人认为，他将这种情况描述为“不可能”求解。他关于如何在这种情况下继续前进作出了进一步评论，其中一部分被翻译为“抛开心理上的偏见”和“虚部被丢弃了”。在其他地方，他将虚数称为“算术的精妙，其结果……既精妙又无用。” 他说，这“确实很复杂……人们不能像计算纯负数那样计算它” 他所说的纯负数是指标准负数，例如–4。 他对负数很满意，并写道“要么是+3，要么是–3，正数(乘以正数)或负数乘以负数得到正数。”然后他继续说道，“ 既不是 +3 也不是–3，而是另一种深奥的东西。”卡尔达诺显然认为负数的平方根是深奥而抽象的东西，但同时他也知道它们是某种东西——而且是数学家应该研究的东西。不过，这个任务不适合他。卡尔达诺随后的著作都没有提到负数的平方根。他把这个问题留给了他的同胞拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)，让他在大约几十年后解决这些问题。
邦贝利在 1572 年提出，5 + 中的两项可以被视为两个独立的事物，这在他本人看来是“疯狂的想法”。“整件事似乎都是诡辩而非事实，”他说，但他还是进行了这样的划分。我们今天仍然这样做，因为它有效。
对自然界进行完全的数学描述要求虚数的存在
邦贝利的两个不同的东西就是我们现在所说的实部和虚部。两者的组合被称为“复数”(这里的“复”字就像“军工复合体”中的那样，指的是实部和虚部的组合，而不是复杂或者困难)。但我们要明确一点，如果我们在重温数学的过程中学到了一件事，那就是所有数字都是虚构的。它们只是一种有助于理解“多少”概念的符号。因此，将“虚数”这个名称应用于负数的平方根是贬义且无益的。
也就是说，我们必须承认“虚数”和“实数”间的区别。数学家们所说的实数只是你更加熟悉的数。两个苹果中的“2”；π中的3.14...；分数等等。正如正数在某种意义上与负数互补一样，我们所说的实数也与我们现在所说的虚数互补。将他们视为阴和阳，或者头和尾。当然不要真的认为他们是虚构出来的。
邦贝利按照他疯狂的想法，展示了这一类新的数字在现实世界中可以发挥作用。他开始着手求解卡尔达诺放弃了的三次方程: . 卡尔达诺的解需要处理包含的表达式，而他并不知道如何是好解。另一方面，邦贝利相信可以尝试将正常的算术规则应用在平方根里。于是他指出或许就是 × ，也就是1 × .。
邦贝利的重大突破在于，他发现这些看似不可能的奇怪数字，一旦在计算过程中与其他更熟悉的数字分开，就会遵守简单的算术规则。之后的一切都顺理成章。
他继续研究卡尔达诺的三次方程，并最终得出了一个解:
x=(2+)+(2-)
将他们分解为我们今天所说的实部和虚部，它就简化成了2加2，减，虚部抵消了，只剩下2+2。所以x=4就是方程的一个解。请读者们代进去自行验证一下吧。
如今，用i代表已成为惯例。瑞士数学家列昂纳多·欧拉首先提出了这个记号。很容易认为i代表虚数的英文imaginary首字母，但事实上，正如欧拉的另一个常数e一样，他可能只是随机地选了这个字母。不管是什么原因，欧拉的举动以无益的方式确立了i是一个“虚构的”数。
为了更好地理解虚数是什么，让我们想象一个从–1到1的标准的数轴(你可以将它想象成一把尺子放在你面前的桌子上，左端是–1，右端是+1)。我们把沿着这条线移动称作加和减(假设我现在位于0.3，如果我加0.3，我就到了0.6处)。但我们也可以想象通过乘法来进行移动。如果我开始在1，我怎么到达–1呢？乘一个–1就可以了。下面让我们把乘–1想象成沿着圆周逆时针旋转半圈(这里我们讨论以坐标原点为圆心，经过1和–1的圆)。这实际上是一个180度的旋转。用数学上更喜欢的单位来记录角度，180度就是π弧度(当然一个圆周360度就是2π弧度)。
这个旋转操作如果我们只做一半会发生什么呢？这是“乘以–1”这个操作的一半，你可以看作是乘以 ，这样一个只转动π/2弧度(或者说90度)的操作将我们的数留在圆周的上半部分，远离了标准数轴。所以我们可以认为–1的平方根位于一条垂直于我们所熟悉的数轴的另一条数轴上。它只是另一组数的集合，只不过这次是在一个和你原来的尺子呈90度夹角相交的尺子上。
上面的讨论将我们带到某些有趣的结论。虚数和圆周上的旋转之间的联系意味着i和π以及角度的正弦余弦是相联系的。它们之间的关系通过奇怪的数e联系起来，这个数通常被称为欧拉数。这个无理数以2.71828...开始，并且无穷无尽。数学里到处都是这个数的身影，它对于统计学、微积分、自然对数和一系列算术计算至关重要。欧拉准确地计算出了e的表达式，他采用了一种特殊的无限级数（称为泰勒级数）并推导出了现在我们熟知的欧拉公式：
这说明自然对数的底数和虚数存在着基本的关系。另外，你可以将这个关系化简为欧拉恒等式的形式：
对某些人来说，这是一个近乎神秘的公式。这里我们有自然对数的底数e；数字 0 和 1，它们都在整个数轴上有独特的地位；虚数单位i，本身就是一个特殊的存在；还有π，众所周知，它是数学的力量源泉。尽管这些数来自于不同的人在不同的时间进行的不同分支的数学研究时的发现，但事实证明它们是相互关联的，共存于这个优雅、简单的方程中。
从另一个稍微不同的角度来看，也许我们不应该感到惊讶。与π本身一样，这个公式确实没有什么神秘之处。这来自于这样一个事实，数字通过旋转改变自身，变为彼此。这是由数的使命所决定的：数字就是数量之间关系的表示。通过加法和减法沿着熟悉的“实”数轴移动，我们并不认为有任何神秘的地方。事实上，通过乘法和除法产生的变换没有什么不同。请记住，正弦和余弦只是与三角形内的角度相关的比例(一个数字除以另一个数字)，这些角度可以表示为π的分数或倍数（以弧度为单位）。因此，我们在这里发现的并不是宇宙深处的谜团，而是一组清晰且有用的关系，这些关系是以各种不同方式定义数字的结果。
事实上，这些关系不仅是有用的，而且可以说是至关重要的。以它们在科学中的应用为例：对自然的完整数学描述似乎需要虚数的存在，我们已经非常了解的实数是不够的。实数必须与虚数结合起来，形成邦贝利首次创造的“复”数。数学家罗杰·彭罗斯将复数的出现视为完美。他在他的《通往现实之路(The Road to Reality)》一书中写道：“复数与实数一样，甚至可能在更深的程度上，实现与自然真正非凡的统一。大自然本身就像我们自己一样被复数系统的范围和一致性深深地打动了，并将她的世界在最微小尺度上的精确运作托付给这些数字。”换句话说，必须发现虚数，因为它们是描述自然的重要组成部分。
