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【求解-（1）- ①】
如上图，在Rt△ADG和Rt△CDE中， 依题意，有DG=DE （正方形DEFG的两条边） ， AD=AC（等腰Rt△ADC的两腰） 所以Rt△ADG≌Rt△CDE （边角边） 【求解-（1）- ②】
如上图，在△ADG和△CDE中， 依题意，有DG=DE （正方形DEFG的两条边） ， AD=AC（等腰Rt△ADC的两腰） ∠ADG=∠EDG-∠ADE=90°-∠ADE=∠ADC-∠ADE=∠CDE 所以△ADG≌△CDE （边角边）
如上图，其实连接GE，就是等腰Rt△ADG和等腰Rt△CDE共顶点D旋转，必有全等三角形或相似三角形。 所以AG=CE，AD=CE 又已知CD=CE，所以AG=AD 所以△AGD也是等腰三角形
过点A做AM⊥GD，交EF于点N，交GD于点M 在Rt△ADM中， AD=4，MD=GD/2=1 由勾股定理，易证AM=√15 由EF∥GD 可得AH/GH=AN/MN 而AH=AG-GH 所以GH=AG*MN/AM = 8√15/15 【求解-（2）- ①】
如上图，在（1）- ②中，已证得△ADG≌△CDE 所以 ∠GAD=∠ECD 在△APH和Rt△CDH中， 已证得 ∠GAD=∠HCD 且∠AHP=∠CHD（对顶角相等） 所以 ∠APH=∠CDH=90°， 即AG⊥CH 【求解-（2）- ②】 在（2）- ①中已证得∠APH=90°， 而AC=√2*CD=4√2 所以有定边AC对定角∠APH，必有隐形圆，且圆心是AC的中点，半径=AC/2
又依题意，点G绕点D旋转，半径=AD/2=2 所以点G的轨迹也是圆
如上图，当点CP与圆D相切时，CP可取到最大值。 ∠ACP越小，CP越逼近直径AC， 也可以用余弦函数来看， 在Rt△ACP中，CP=AC*cos∠ACP， ∠ACP越小，余弦值越大，CP越大。 如上图，当CP取最大值时，点P与点F重合， 为何呢？ DE'⊥CP（CP是切线）， 点P是以AC为直径的圆上的点，所以AG'⊥CP 所以AP∥DE'， 又已知条件四边形DE'FG是正方形，所以点P与点F重合 此时，CP=CE'+E'F 在Rt△CDE'中，CD=4，DE'=2，所以CE'=2√3 所以CP=CE'+E'F = DE'+E'F = 2+2√3 |
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这是一道20年湖南的中考压轴大题。
