循序渐进学物理——物理教学中的必备数学知识——圆的知识更重要

循序渐进学物理——物理教学中的必备数学知识——圆的知识更重要（磁偏转、磁聚焦的彻底攻克）

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关于高中物理与各学科尤其是数学的紧密关系以及物理教学中应该具备的数学知识，本公众号已经发过多篇文章了，比如“高中物理离开了数学将寸步难行，但有些数学知识也是建立在物理的基础之上——必备数学知识在这里”、“物理课本讲数学，数学、物理不可分——物理数学思维可共享”、“循序渐进学物理——物理教学中的必备数学知识——二次曲线”……。在高中物理的学习和解题中，需要用到的数学知识和数学思维确实太多了，绝不是几篇文章就能全部概括的。今天，我们再来总结归纳一下物理学习与解题经常需要的圆的知识，这些知识将直接影响我们的学习和解题，所以我们必须更加熟悉。

一、圆的定义与方程

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。圆也是一种圆锥曲线（二次曲线），由平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到。    

不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是：

x=a+r·cosθ，y=b+r·sinθ，（其中θ为参数）。

在平面直角坐标系xOy中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程可以写为：

(x﹣a)²+(y﹣b)²=r²．

圆的一般方程为：

x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²﹣4F>0)，

或表示为：(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²﹣4F)/4。

圆心在极点O、半径为r的圆O的极坐标方程为：ρ=r。

圆心在极轴上但不在极点、半径为r=a、圆心为C(a，0)的圆的极坐标方程为：ρ=2acosθ，此时极点在圆上。其它情形更加复杂。

二、有关圆的一些基本概念

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点的线段（直径也是弦，并且是最长的弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。    

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。也就是两条半径所夹的角。

6、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、有关圆的一些重要性质（跟物理关系较为密切的）

1、圆的对称性。

(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半（即对应圆心角的一半）。

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，则它所对的弦是直径。

4、夹在平行线间的两条弧相等。

5、圆的周长、面积（半径为r）    

圆的周长是直径的π倍，即L=2πr。π≈3.14，叫做圆周率。

弧长公式：l=rθ，θ为对应的圆心角。

圆的面积公式：S=πr²。

扇形的面积公式：S_扇=θr²=lr，θ为对应的圆心角。

6、两相切圆的连心线（两个圆心相连的直线）过切点。

7、如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

8、弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半（即圆心角的一半）。

弦切角就是切线与弦所夹的角，弦切角等于对应的圆周角。

9、经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。    

（1）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（2）圆的切线垂直于经过切点的半径。

10、从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

从圆外一点到圆的两条切线的长相等，这点与圆心的连线平分切线的夹角。

四、有关两圆相交的一些重要结论

相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦。

1、大小不等的两圆相交

两圆相交，连心线与公共弦垂直；根据对称性知，∠O₁MO₂=∠O₁NO₂。

特别是，当∠O₁MO₂=∠O₁NO₂=90°时，交点处的半径分别与另一个圆相切：

2、两个等大的圆相交

两个等大的圆周相交，连心线与公共弦相互垂直且平分；四条半径构成一个菱形O₁MO₂N。

特别是，当∠O₁MO₂=∠O₁NO₂=90°时，交点处的半径分别与另一个圆相切，此时菱形O₁MO₂N成为正方形：

几个等大的圆相交于同一点P时，圆O₁跟其它几个圆的另一个交点分别是Q₁、Q₂、Q₃……，其它几个圆各自在交点Q₁、Q₂、Q₃……处的切线是相互平行的，并且这些切线都跟PO₁垂直：    

上边的结论用下图容易证明：

如下图所示，两个等大的圆O₁、O₂相交于P、Q两点，由于四边形PO₁QO₂是一个菱形，所以PO₁∥O₂Q，可知圆O₂在Q点处的切线跟O₂Q和PO₁都垂直。

有了上边的结论，就容易理解带电粒子在磁场中受洛仑兹力做匀速圆周运动时的磁聚焦现象了：    

五、两圆相切定理  

1、两圆相切

相切的两圆有定理：相切两圆的连心线经过切点。这说明两圆的圆心和切点三点共线。

2、两圆的公切线

两圆的公切线定理：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等。两个圆如果有两条外（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上。

有关带电粒子射入磁场区域在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的相关例题，我们将另行推出。