初中几何-------圆

几何特训加强版之圆

一、主要知识点回顾

 

（一）圆的有关性质

1. 圆上各点到圆心的距离都等于 半径  .

2. 圆是 轴   对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴  ；圆又

是 中心  对称图形，   圆心     是它的对称中心.

3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦   ，并且平分  弦所对的弧  ；平分弦（不是直径）的 直径  垂直于弦，并且平分   弦所对的弧.

4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 .

5. 同弧或等弧所对的圆周角 相等  ，都等于它所对的圆心角的 一半  .

6. 直径所对的圆周角是 直角   ，90°所对的弦是 直径   .

 

（二）与圆有关的位置关系

1. 点与圆的位置关系共有三种：

①d > r点在圆外；②d=r点在圆上；③d<r点在圆内.

2. 直线与圆的位置关系共有三种：

①d > r直线与圆相离；②d=r直线与圆相切；③d<r直线与圆相交.

3. 圆与圆的位置关系共有五种：

两圆的圆心距为d，两圆的半径分别是R、r（R≥r）

①d < R－r内含，

②d  = R－r内切，

③ R－r  < d  <  R＋r相交，

④d  =   R＋r外切，

⑤d    <  R＋r外离.

4. 圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 半径的外端点 ，并且 垂直于 这条 半径  的直线是圆的切线.

5. 从圆外一点可以向圆引 2 条切线，  切线长  相等。

6. 三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外 心，是三角形   三边垂直平分线   的交点.

7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆   ，内切圆的圆心是三角形 三个角平分线      的交点，叫做三角形的 内心    .

 

（三）圆中的计算问题

1. 圆的周长为          ，

 n°的圆心角所对的弧长为            ，弧长公式为                  .

2. 圆的面积为          ，

 n°的圆心角所在的扇形面积为S=        =          =          .

3. 圆柱的侧面积公式：S=.（其中为         的半径，为     的高）

4. 圆锥的侧面积公式：S=.（其中为         的半径，为     的长）

 

二、基础应用

 

1.如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，则的度数为（    ） 

A．       B．       C．     D．

2.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（    ） 

A．       B．        C．      D．

3.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（　　）

A．正方形  B.长方形   C．菱形       D．以上答案都不对

 

第1题

4.如图，是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为           cm．

5. 如图，半圆的直径AB＝___   ．

 

6.⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（　　）

A． 相交       B． 相切        C． 相离       D． 无法确定

7.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（    ）

A．内切、相交    B．外离、相交 

C．外切、外离    D．外离、内切

8.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆(     )

A．外切        B．相交       C．相离         D．内切

9.如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是（    ）

A．4        B．8        C．        D．

10.已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是         .

11.如图，在⊙O中，，， 则劣弧的长为        cm．

12.翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米²，的长度为9米，那么半径OA ＝      米．

　　　　　　

 

13.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为__________ .(结果保留）

14.已知扇形的半径为2cm，面积是，则扇形的弧长是        cm，扇形的圆心角　　．

15.如图，正六边形内接于圆，圆的半径为10，则圆中阴影部分的面积为      ．

 

三、例题精讲

 

例1　如图：=，分别是半径和的中点，与 的大小有什么关系？为什么？

 

变式练习1： 已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，

以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．

 

 

例2如图，线段经过圆心，交⊙O于点，点在⊙O上，连接，．是⊙O的切线吗？请说明理由．

 

 

变式练习2：如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的切线，切点为C，连结AC.

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；

（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP的大小.

 

变式练习3：如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．

（1）求证：；

（2）求证：为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，，求的长．

 

 

例3:如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，

点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD =．(1)求弦AB的长；（2）CD的长；

（3）劣弧AB的长.（结果保留三个有效数字，，≈3.142）

 

变式练习4：如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，

于点．

（1）请写出三条与有关的正确结论；

（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．

 

变式练习5：如图，线段与⊙O相切于点，连结、，交⊙O于点D，已知，.

求（1）⊙O的半径；  （2）图中阴影部分的面积．

 

四、巩固与提高

 

1.下列命题中，正确的是（    ）

① 顶点在圆周上的角是圆周角；  ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；

③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；

⑤ 同弧所对的圆周角相等

A．①②③       B．③④⑤       C．①②⑤       D．②④⑤

2.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，

半径 OA＝10 m，高度CD为_    ____m．

3.如图，⊙O中，，则的度数为           ．

  

                                       第4题            第5题

4.如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（　　）

A．         B．         C．             D．

5. 如图，⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两相外切，⊙O₁的半径，⊙O₂的半径，⊙O₃的半径，则是（    ）

A．锐角三角形   B．直角三角形   C．钝角三角形   D．锐角三角形或钝角三角形

6.⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为         ．

7.已知，⊙的半径为，⊙的半径为，且⊙与⊙相切，则这两圆的圆心距为___________．

8. 中，，，，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（    ）

A．         B．       C．            D．

9.如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为米，圆心角均为，则铺上的草地共有         平方米．

 

10.（08广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=．

（1）求证：AC = AE；

（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．

 

11.如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O 交于点，点是边的中点，连结．

（1）求证：与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为，，求．

 

12.如图，已知是⊙O的直径，点在⊙O上，且，．

（1）求的值；

（2）如果，垂足为，求的长；

（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．