圆(一种几何图形)

基本简介

基本介绍

圆

1、在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

2、连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r（radius）。

3、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d（diameter）。直径所在的直线是圆的对称轴。

4、连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.最长的弦是直径。

5、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

圆的周长公式=C=πd=2πr≈6.28r

圆的面积公式=S=π×r×r

（以此类推，半圆的周长公式=C/2+d=πr+2r 面积=S/2=π×r×r÷2）

6、由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形（sector）。

7、由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8、顶点在圆心上的角叫做圆心角（central angle）。

9、顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10、圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

11、圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

12、圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。

字母表示

圆—⊙ ；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒ ；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。

文化背景

圆

圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。

会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。

意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，人们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说'周三径一'，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现'周三径一'只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。

计算公式

1、圆的周长C=2πr=或C=πd

2、圆的面积S=πr²

3、扇形弧长L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）

4、扇形面积S=nπ r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）

5、圆的直径 d=2r^[1]

6、圆锥侧面积S=πrl（l为母线长）

7、圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）

圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分）

设圆的参数方程为	圆的参数方程式 圆的参数方程式
圆在一周内周长的积分	圆在一周内周长的积分
代入，可得	代入，可得 公式 公式
即	公式

圆的方程

1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2^[2]。

特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：

（1）当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2，-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；

（2）当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；

圆

（3）当D^2+E^2-4F<>

3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，（其中θ为参数）

圆的端点式：若已知两点A（a1，b1），B（a2，b2），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2

在圆（x^2+y^2=r^2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A，B，则A，B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2。

位置关系

点和圆位置关系

①P在圆O外，则 PO>r。

②P在圆O上，则 PO=r。

③P在圆O内，则 PO<>

反过来也是如此。

直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d<>

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<>

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为（x-a）²+（y-b）²=r²令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离；

当x1<>

圆和圆位置关系

①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<>

内切P=R-r；相交R-r<><>

性质介绍

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理

①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

圆

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。

④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

（8）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。

相关定理

与切线有关的定理

垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：

（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC^2=pA·pB

割线定理与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点，则pA1·pB1=pA2·pB2。

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧^[3]。

图形绘制

一般情况下可用圆规画出圆形，或用一段绳子，一头固定在地上，一头转，就能转出圆，绳子越长，圆越大。

用AutoCAD绘圆

圆

在AutoCAD“绘图”下拉菜单中，列出了6种“圆”的绘制方法，简述如下：

（1）利用圆心和半径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（2）利用圆心和直径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（3）以两点确定直径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（4）以三点确定直径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（5）以确定半径与两个图形对象相切绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（6）利用圆心和半径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作。

richtext控件绘圆

定义一个数组，该数组用来存储一个或多个坐标（Point）。

然后按照以下步骤来实现

1、生成一个控件（如Label），并调整相应的属性；

2、在内存中建立一张临时的图像作为画布，使用GDI+等各种绘图，将图像绘制到画布上；

3、将生成的控件Image或BackGroundImage属性值设定为步骤2生成的图像；

4、使用RichTextBox1.Controls.Add方法，将控件添加进去（您可以指定它的坐标）；

5、将当前已经添加的控件的坐标记录在数组中（如对应第1个数据）；

6、添加RichTextBox1.Scroll事件代码，在该代码中，通过获取滚动条的值来计算已添加控件应该所在的位置。

说明：

控件可以通过代码生成；

该方法与网上流传的QQ聊天窗口内RichTextBox方法不同，属于简单型；

您务必要定义一个数组，用来参与ScrollBar滚动时，将目标控件重新定位。