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第二节 可靠性函数
一、 可靠度函数的定义
1、 可靠度(Reliable)的定义
产品在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率，称为可靠度。这种用概率来度量可靠度的函数，称可靠度函数，简称可靠度，用R(t)表示。  式中
N0——t=0 时，在规定条件下进行工作的产品数；
n(t)——在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。
2、 可靠度函数的含义
可靠度是一种随机现象以用概率来度量产品在某一时刻的可靠性。可靠度是时间t的函数，取值在0与1之间。
R(t)=P(T>t0)
二、 失效概率的定义
失效概率，就是产品在规定的条件下，在规定的时间内未完成规定功能的概率，也称不可靠度F(t)；通常用累积故障概率的分布函数来表示，这种函数，称不可靠度函数或累积失效概率分布函数，简称失效概率分布函数。  1、 失效概率的含义
设有N件产品，在规定的条件下工作到规定的时间T,发生故障（失效）的件数为n(t),仍有（N－n）个产品继续工作，如果产品总数N足够大时，则可靠度近似为 ，则失效概率近似为 ，显然，以下关系成立：R(t)+F(t)=1
2、 失效概率密度函数f(t)  f(t)的量纲为时间的倒数，是一个广义的时间。
3、 可靠度函数与失效概率分布函数的性质
R(t)与F(t)的性质如下表所示：
| R(t) | F(t) | | 取值范围 | [0,1] | [0,1] | | 单调性 | 非增函数 | 非减函数 | | 对偶性 | 1-F(t) | 1-R(t) |
由密度函数的性质 可知： ，因此，R(t)、F(t)与f(t)之间的关系如图所示： R(t)、F(t)与f(t)间关系图 三、 故障率
工作到某时刻尚未发生故障的产品，在该时刻后单位时间内发生故障的概率，称之为产品的故障率。
用数学符号表示为：   ——故障率；
 ——t时刻后，dt时间内故障的产品数；
——残存产品数，即到t 时刻尚未故障的产品数。
可按下式进行工程计算： ——t时刻后时间内故障的产品数；
——所取时间间隔；
——残存产品数。
对于低故障率的元部件常以10-9/h为故障率的单位，称之为菲特（Fit）。
1、 故障率的数学定义
产品的寿命为非负连续型随机变量x，失效概率分布函数为F(t)．失效概率密度函数为f(t)时，定义为失效率函数 2、 故障率的含义
在GJB451-90中称，常量失效率为“故障率（failure rate）”，其度量方法为：在规定的条件下和规定的时间内，产品的故障总数与寿命单位总数之比率。当产品的寿命用时间来表征时，一般那情形的失效率作为时间t的函数，称为瞬时失效率（transient failure rate）。它表示产品在规定的条件下工作到t时刻，尚未失效（或故障）的产品，在单位时间里发生实效的概率。
3、 故障率与可靠度、故障密度函数的关系 由于，所以：, 产品典型的故障率、可靠度和密度函数曲线
4、 平均故障前时间(MTTF)
设N0个不可修复的产品在同样条件下进行试验，测得其全部故障时间为。其平均故障前时间（用符号TTF表示）为： 当趋向无穷时，为产品故障时间这一随机变量的数学期望，因此， 当产品的寿命服从指数分布时， 平均故障间隔时间(MTBF) 式中，——产品总的工作时间。
产品典型的修复状态有基本修复和完全修复两种: 基本修复与完全修复曲线
四、 寿命特征
1、 可靠寿命
指给定的可靠度所对应的产品工作时间。
2、 使用寿命
指产品在规定的使用条件下，具有可接受的故障率的工作时间区间。 3、 首次翻修期限（首翻期）
指在规定条件下，产品从开始使用到首次翻修的工作时间和（或）日历持续时间。翻修是指把产品分解成零部件，清洗、检查，并通过修复或替换故障零部件，恢复产品寿命等于或接近其首翻期的修理。
4、 翻修间隔期限
指在规定条件下，产品两次相继翻修间的工作时间、循环次数和（或）日历持续时间。
5、 总寿命
指在规定条件下，产品从开始使用到规定报废的工作时间、循环次数和（或）日历持续时间。
6、 贮存期限
在规定条件下，产品能够贮存的日历持续时间，在此时间内，产品启封使用能满足规定要求。首翻期、翻修间隔期和使用寿命关系图 五、 可靠性参数分类
可靠性参数分为基本可靠性参数和任务可靠性参数
1、基本可靠性反映了产品对维修人力费用和后勤保障资源的需求，确定基本可靠性指标时应统计产品的所有寿命单位和所有的故障。
2、任务可靠性是产品在规定的任务剖面中完成规定功能的能力，确定任务可靠性指标时仅考虑在任务期间那些影响任务完成的故障(即致命性故障)。
六、 可靠性参数的相关性
1、 平均故障间隔时间(MTBF)与平均故障间隔飞行小时(MFHBF) 2、 任务成功概率与致命故障间的任务时间 3、 MTBF与故障率 4、 平均维修间隔时间与MTBF 5、 平均拆卸间隔时间与MTBF 七、 分布状态描述——频数直方图
1、 概念：
频数直方图是通过对随机收集的样本数据进行分组整理，并用图形描述总体分布状态的一种常用工具
2、 绘制程序
例 从一批螺栓中随机抽取100件测量其外径数据如下表所示，螺栓外径规格为，试绘出频数直方图。单位：mm | 7.938 | 7.930 | 7.918 | 7.925 | 7.923 | 7.930 | 7.920 | 7.929 | 7.922 | 7.925 | | 7.930 | 7.925 | 7.913 | 7.925 | 7.927 | 7.920 | 7.925 | 7.928 | 7.918 | 7.938 | | 7.938 | 7.930 | 7.925 | 7.925 | 7.927 | 7.924 | 7.930 | 7.930 | 7.922 | 7.922 | | 7.914 | 7.930 | 7.926 | 7.925 | 7.927 | 7.925 | 7.926 | 7.935 | 7.925 | 7.915 | | 7.924 | 7.925 | 7.928 | 7.927 | 7.923 | 7.929 | 7.923 | 7.930 | 7.925 | 7.918 | | 7.929 | 7.918 | 7.924 | 7.920 | 7.922 | 7.922 | 7.920 | 7.939 | 7.920 | 7.927 | | 7.928 | 7.920 | 7.922 | 7.922 | 7.923 | 7.925 | 7.929 | 7.925 | 7.927 | 7.935 | | 7.920 | 7.918 | 7.923 | 7.927 | 7.929 | 7.930 | 7.930 | 7.924 | 7.922 | 7.931 | | 7.918 | 7.928 | 7.915 | 7.923 | 7.931 | 7.926 | 7.925 | 7.930 | 7.930 | 7.919 | | 7.923 | 7.928 | 7.919 | 7.925 | 7.922 | 7.918 | 7.922 | 7.935 | 7.930 | 7.922 |
3、 绘制步骤
1）收集数据，并找出数据中最大值xL和最小值xS数据个数应≥50，并将数据排成矩阵形式。本例数据个数n=100。最大值xL=7.938，最小值xS=7.913。
2）计算极差R=xL+xS=7.938-7.913=0.025
3）确定分组组数k
k值的选择一般参考下表给出的经验数值确定本例选择k=10
4）确定组距h
组距即每个小组的宽度，或组与组之间的间隔 本例中 为分组方便，常在h的计算值基础上将其修约为测量单位的整数倍，并作适当调整。 如本例测量单位为0.001，将h修约为0.003。
5）计算各组的上、下边界值
为了不使数据漏掉，应尽可能使边界值最末一位为测量单位的1/2。
当h为奇数时， 第一组边界值应为
当h为偶数时，可以下式计算第一组边界值
第一组上边界值=xS–测量单位/2
第一组下边界值=上边界值+h
一直计算到最末一组将xL包括进去为止。
本例h为奇数，故第一组上下边界值为 其余各组的上下边界值为：
某组上边界值=上组下边界值
某组下边界值=该组上边界值+h
本例第二组上下边界值为7.9175～7.9145；第三组为7.9175～7.9205……
依次类推，最后 一组为7.9385，包括了最大值7.938(见频数表)
6）计算各组的组中值xi 如本例 7）统计落入各组的数据个数，整理成频数表： | 组号i | 组边界值 | 组中值xi | 频数统计 | fi | | 1 | 7.9115 ～7.9145 | 7.913 |
| 2 | | 2 | 7.9145 ～7.9175 | 7.916 |
| 2 | | 3 | 7.9175 ～7.9205 | 7.919 | 正 正 正 一 | 16 | | 4 | 7.9205 ～7.9235 | 7.922 | 正 正 正 | 18 | | 5 | 7.9235 ～7.9265 | 7.925 | 正 正 正 正 | 23 | | 6 | 7.9265 ～7.9295 | 7.928 | 正 正 正 | 17 | | 7 | 7.9295 ～7.9325 | 7.931 | 正 正 正 | 15 | | 8 | 7.9325 ～7.9355 | 7.934 |
| 3 | | 9 | 7.9355 ～7.9385 | 7.937 |
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8）作直方图
以频数为纵坐标，质量特性为横坐标画出坐标系，以一系列直方形画出各组频数，并在图中标出规格界限和数据简 历，组成频数直方图 八、 频数直方图、频率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线
1、 频数直方图
以样本数据表征的质量特性值为横坐标，以频数为纵坐标 作出的描述数据分布规律的图形。
2、 频率直方图
将频数直方图的纵坐标改为频率做出的频率直方图，其形状与 频数直方图应完全一样
3、 频率直方图
若将纵坐标改为频率密度，横坐标不变，直方图的形状也不变。
4、 频率密度曲线
当样本数据的大小n→∞ ，组距h→0时，直方的数量将趋于 ∞ ；随机变量(即质量特征)在 某 区间h的频率密度将趋于概率密度；直方顶端联成的折线将形成一条光滑的曲线——概率密度曲线
5、 区别与联系
频数直方图、频率直方图、频率密度直方图与概率密度曲线，虽然它们的坐标不同，描述 分布状态的方式有的是折线、有的是曲线，但其大致形状是相似的。概率密度曲线表明了总 体的分布状态；而频数直方图等是对总体分布状态的描述。
九、 正态分布及其频数直方图的特征
实践和理论证明：当一个连 续型随机变量受到许多相互独立的随机因素的影响时，如果这许多因素的影响虽然有的大一 些，有的小一些，但每一个因素在影响的总和中都不起主导作用时，这个随机变量将服从正 态分布。
许多产品的计量质量指标，如强度、长度、寿命、测量误差等在生产条件稳定、正常的前 提下，均服从正态分布。因此，测量这些指标得到的数据，其频数直方图的形状应具有正态 分布概率密度曲线的特征——为中间高、两边低、左右大致对称的山峰型。
十、 几种常见的异常型频数直方图
1、 孤岛型
在直方图旁边有孤立的小岛出现。其原因是在加工和测量过程中有异常情况出现。如原材 料的突然变化，刃具的严重磨损，测量仪器的系统偏差，不熟练工人的临时替班等。
2、 偏向型
偏向型也称偏峰型。即直方的高峰偏向一边。这常常是由于某些加工习惯造成的。如加工 孔时，有意识地使孔的尺寸偏下限，其直方图的峰则偏左；当加工孔时，有意识 地使轴的尺寸偏上限，其直方图的峰则偏右。
3、 双峰型
直方图出现了两个高峰。这往往是由于将不同加工者、不同机床、不同操作方法等加工 的产品混在一起造成的。因此，必须先对数据进行分层，再作频数直方图。
4、 平顶型
平顶型即直方图的峰顶过宽过平。这往往是由于生产过程中某种因素在缓慢的起作用造成 的。如刃具的磨损、操作者逐渐疲劳使质量特性数据的中心值缓慢的移动造成的。
5、 折齿型
测量误差太大或分组组数不当都会使直方图出现凸凹不平的折齿形状。
6、 陡壁型
直方图在某一侧出现了高山上陡壁的形状。这往往是在生产中通过检查，剔除了不合格品后 的数据作出的直方图形状。
十一、 频数直方图的应用
1、 观察工序状态
大部分计量指标服从正态分布，即在稳定正常生产 状态下得到的数据，其频数 直方图的形状是“中间高、两边低、 左右对称的山峰型”，我们称这种形状的直方图为正常型直方图 。
当影响产品质量特性的因素中，有的因素在影响的总和中占据了主导地位，成为“异常 因素”时，质量特性的正态分布状态将被打破，频数直方图的形状将出现异常型。此时，现 场人员应根据直方图形状迅速分析判断异常原因，采取措施，使工序恢复正常状态。
2、 与规格比较，明确改进方向
（1）原理：在直方图上标明规格上限及下限，可直观地将直方图的位置、 分散范围与规格比较，从而分析质量状况，明确改进方向。
（2）与规格比较的几种情况 十二、 失效率函数曲线
1、 早期(初期)失效期
早期失效期的基本特征：开始失效率较高，随着时间的推移失效率逐渐降低，因而也称递减型失效，记作DFR型(Decreas-ing Failure Rate)。早期失效类型常见于使用产品的初期阶段。
2、 偶然失效期
偶然失效期的基本特征：失效率近似等于常数，因而也称恒定型失效。记作CFR（Constant Failure Rate）型。偶然失效期是产品的有用寿命期，其（故障）失效率低且性能稳定。在这期间，失效是偶然发生的，何时发生无法预测，采取提前更换的办法不能提高可靠性。
对于CFR型失效，以指数分布为多见，其可靠度函数，它是可靠性最基本的分布形式。
3、 耗损失效期
耗损失效期的基本特征：随着时间的增长失效率急剧加大，因而也称递增型失效，记作IFR(Increasing Failure Rate)型。
这种类型的故障是由于产品的老化、磨损、疲劳引起的，故障集中发生在某个很小的时间区间内，所以又叫做集中故障型。
4、 汽车失效率与浴盆曲线
以汽车使用的时间为横坐标，以汽车的失效率为纵坐标制成的曲线，称为失效率曲线，也称寿命曲线。由于寿命曲线的形状象浴盆，通常也称浴盆曲线。
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