到底怎么学概念，聊聊对数学概念的几种掌握层次

数学概念是数学学习的骨架，我们学习数学，首先就是学习以数学概念形成的数学系统，然后再以此为工具进行应用，比如解题。

在实际的数学学习过程中，重解题轻概念是学生学习、老师教学的常态，但实际上对概念的理解、掌握也是有层次之分的，如果不去对概念认真辨析、理解，就不能说学好了数学。

那么到底怎么学概念呢？

我们以勾股定理为例来讨论一下。

说到勾股定理，大家脱口而出的肯定是勾三股四弦五。

这是不是概念呢？

其实不算，它只是一个特例，像3、4、5一样的勾股数并不少见，比如5、12、13；7、24、25....这些都是勾股数。

这就属于对概念的内涵没有搞明白，用特例来替换了通性。

那么勾股定理的概念是什么形式呢？

勾股定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

好，这个概念放在这里了，你对它有什么认识呢？

首先要明确这个定理的适用范围是所有直角三角形，其次要明确是直角边的平方和，等于斜边的平方。

同时也要知道勾股定理的代数表达式：a^2+b^2=c^2。

其中a，b表示两条直角边，c表示斜边。

好了，概念学完了吗？

并没有。

勾股定理是如何证明的呢？这个概念的来源是什么呢？

知其然，也要知其所以然啊。

勾股定理的证明方法有很多，在此只举几个。

我们对于一些衍生的定理、公式，不仅仅要满足于记忆形式，而是要去追究其背后的原理、思路。

搞明白这些的话，你对于概念适用的范围和作用就比较清楚了。

那么问题来了，勾股定理可以用来干什么？

学习概念不仅仅是了解这个概念就完了，学习概念要对以概念为核心的知识有一个系统的认知。

勾股定理可以用来证明三角形为直角三角形，进而可以用来证明某角为直角，也可以用来求直角三角形的某一边长度，进而勾股定理启示了一种思路——我们可以通过构造垂直，构造直角边，就可以求出某一条线段的长度，比如两点间距离公式就可以通过这种思路推导。

勾股定理的出现还直接引出了无理数，根号2的惨剧是经常出现在数学老师优质课上的事例。

概念是要应用的，否则掌握就不会很到位，所以还需要一定的习题练习。

那么我题也做了，概念也辨析了，证明也会了，我学好了吗？

你确定?

你有没有考虑这样一个问题：为什么直角三角形恰好有勾股定理，锐角、钝角有什么呢？

那就不得不提一个知识了——余弦定理。

勾股定理其实就是余弦定理的特殊情况，也正因为如此，我们得到了一个根据三角形边长判断三角形形状的方法：

三角形三边是a，b，c，假设c最大，则

c²<a²+b²，是锐角三角形

c²=a²+b²，是直角三角形

c²>a²+b²，是钝角三角形。

到此为止，我们算是基本上对勾股定理这个概念有了一个全面的认识，不仅仅是勾股定理，几乎所有的数学概念都是这个方式——概念的准确形式，概念的适用范围，其中每一个量的具体含义，易错点；定理、公式的推导证明及本质原理；概念的作用与应用。

只有搞清楚了这些，我们才能说自己真正掌握了一个概念。

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