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最近学解析几何，发现很多题可以直接套通解，于是把通解求了个遍。
点和点
两点确定一条直线
求 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 所在的直线 l
因为 P1,P2⊂l
数学表示 所以解得
l:(y2−y1)x+(x1−x2)y+x2y1−x1y2=0
两点连线中垂线
求 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 连线的中垂线 l
因为 P1,P2⊂P1P2 ， l⊥P1P2 ， P1+P22⊂l
数学表示 所以解得
l:2(x1−x2)x+2(y1−y2)y+x22−x21+y22−y21=0即l:(x1−x2)(2x−x1−x2)+(y1−y2)(2y−y1−y2)=0
直线和点
点到直线的距离
求 l:Ax+By+C=0 到 P(x0,y0) 的距离 d
根据高中数学书，解得
d=|Ax0+By0+C|√A2+B2
线关于点对称
求 l:Ax+By+C=0 关于 P0(x0,y0) 对称所得直线 l′
因为 P0 到两线距离相等，两线不重合
数学表示 所以解得
l′:Ax+By−C−2Ax0−2By0=0即l′:Ax+By+C−2(Ax0+By0+C)=0
点关于线对称
求 P(x0,y0) 关于直线 l:Ax+By+C=0 对称所得点 P′
因为 P′,P⊂PP′ ，两点到 l 距离相等， PP′⊥l
数学表示 所以解得
T=Ax0+By0+CA2+B2P′(x0−2AT,y0−2BT)
直线和直线
两线交点
求 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点 P
因为 P⊂l1,P⊂l2
数学表示 所以解得
P(B1C2−C1B2A1B2−B1A2,C1A2−A1C2A1B2−B1A2)
线关于线对称
求 l:Ax+By+C=0 关于 l0:A0x+B0y+C0=0 对称所得直线 l′
在 l 上找一个点 P(x0,y0) ，做 P 关于 l0 的对称点 P′(x′0,y′0)。
因为 P′,P⊂PP′ ，两点到 l0 距离相等， PP′⊥l0 ，P⊂l ， P′⊂l′
数学表示 所以解得
P(BC0−CB0AB0−BA0,CA0−AC0AB0−BA0)t1=A0B0t2=A20−B20l′1:(2Bt1+At2)(x−Px)+(2At1−Bt2)(y−Py)=0
两线夹角平分线
求 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 形成的角的平分线 l
在 l1 上找一个点 P(x0,y0) ，做 P 关于 l 的对称点 P′(x′0,y′0)。
因为 P′,P⊂PP′ ，两点到 l 距离相等， PP′⊥l ，P⊂l1 ， P′⊂l2
数学表示 所以解得
P(B1C2−C1B2A1B2−B1A2,C1A2−A1C2A1B2−B1A2)K1=√A21+B21K2=√A22+B22l:(A2K1+A1K2)(x−Px)+(B2K1+B1K2)(y−Py)=0或(B2K1+B1K2)(x−Px)−(A2K1+A1K2)(y−Py)=0
四种曲线和点
点结论一览
探究圆、椭圆、双曲线、抛物线与 P1(x1,y1) 的关系
| 结论 | 圆 | 椭圆 | 双曲线 | 横向抛物线 |
|---|
| 方程 C | (x−x0)2+(y−y0)2=R2 | x2M+y2N=1 | x2M−y2N=Z,Z=±1 | x2=2py2 |
| D | {x=x1−x0y=y1−y0 |
| L | D2x+D2y | My21+Nx21 | {My21−Nx21,Z=1Nx21−My21,Z=−1 |
| Q | √L−R2 | √L−MN | √L+MN | √y21−2px1 |
| J | ⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x=RDx±QDyy=RDy∓QDx | ⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩x=Nx1±Qy1y=My1∓Qx1 | ⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩x=−Nx1±Qy1y=−My1±Qx1 | y1±Q |
| 过 P1 的切线 | Jx(x−x1)+Jy(y−y1)=0 | Jx(x−x1)−Jy(y−y1)=0 | −p(x−x1)+J(y−y1)=0 |
| 切线的切点 | P0+RLJ | (MLJx,NLJy) | (y1pJ−x1,J) |
| 切点弦 | Dx(x−x0)+Dy(y−y0)=R2 | xx1M+yy1N=1 | xx1M−yy1N=Z | y1y=px+px1 |
| 切点弦的中点 | P0+R2LD | MNLP1 | −MNLP1 | (y21p−x1,y1) |
| 切点弦长 | 2QR√L | 2QL√M2y21+N2x21 | 2Qp√y21+p2 |
点条件一览
求切点弦 lc
因为高中二级结论
求切点 PT
因为 PT⊂C,PT⊂lc
求切线 lT
设：切点分别为 PT1 、 PT2。
因为 PT1,PT2⊂lT
求切点弦中点 P
设：切点分别为 PT1 、 PT2。
因为 P=PT1+PT22
求切点弦长 Lc
设：切点分别为 PT1 、 PT2。
因为 Lc=|PT1PT2|
三种曲线和线
线结论一览
探究圆、椭圆、双曲线与 l:Ax+By+C 的关系
| 结论 | 圆 | 椭圆 | 双曲线 | 横向抛物线 |
|---|
| 方程 C | (x−x0)2+(y−y0)2=R2 | x2M+y2N=1 | x2M−y2N=Z,Z=±1 | x2=2py2 |
| L | A2+B2 | A2M+B2N | ⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩B2N−A2M,Z=1A2M−B2N,Z=−1 | B2p2 |
| D2 | (Ax0+By0+C)2L |
| Q | √L√R2−D2 | mn√L−C2 | mn√L+C2 | √L−2ACp |
| J | ⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩x=−AC+B(Bx0−Ay0)y=−BC+A(Ay0−Bx0) | {x=−ACMy=−BCN | ⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩{x=ACMy=−BCN,Z=1{x=−ACMy=BCN,Z=−1 | −Bp±QA |
| 交点 | 1L(Jx±BQ,Jy∓AQ) | (−BAJ−CA,J) |
| 弦的中点 | 1LJ | (−BA(−BpA)−CA,−BpA) |
| 弦长 | 2Q√L | |2QL√A2+B2| | 2QA2√A2+B2 |
