双曲线部分

双曲线部分

 

【典型例题】

[例1] 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点F₁、F₂，若两曲线在第一象限内的交点为P，求证：的面积。

证：由  

，

且（其中）

设周长的一半为m，则

则

故

   

另法，

 

[例2] 求以F₁（），F₂（3，0）为焦点，并与直线有公共点且实轴最长的双曲线的方程。

解：先求F₂（3，0）关于直线的对称点

由

又，则

故所求双曲线方程为

 

[例3] 已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F₂是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。

解：由，则

此时M的坐标（）

 

[例4] 已知双曲线C：，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为         。

解：

又，则

当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”

又由

即

故M（）

 

[例5] 双曲线中心在原点，一个焦点为F（），直线与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为，则此双曲线方程是（    ）

A.                         B.

C.                         D.

解法1：设H：（）

联立

中点条件是

再由焦点条件解出

解法2：由

MN中点在直线上，则中点纵坐标

由

故H：，选D。

 

[例6] 已知A、B是双曲线右支上两点

（1）若AB过右焦点F_2­，且，求的周长（F₁为左焦点）；

（2）若弦AB的中点到y轴的距离为4，求的最大值。

解：（1）因A、B在双曲线右支上，故由双曲线定义可知

，两式相加得

由，即

故，所以

即的周长为

（2）由题设，双曲线中，

设A（），B（），则A，B到右焦点的距离分别为

   

由弦中点到y轴距离为4，即，则=8

故，故最大值为8，此时AB过焦点F₂

[例7] 过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

解：设AB：代入双曲线方程并整理得

（*）

若，不合题意，若，由，得

若P是AB的中点，即

得（舍去）

此时，代入（*）

当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点

因此这样的弦AB不存在

另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上

两式相减得

，其中

，得

以下同解法1

 

[例8] 双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。

解：设双：，直线PQ方程为

由，消去得

设P（），Q（）

若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故

故

由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）

由OP⊥OQ，则

整理得

将（*）代入，又由，并整理得

即

由，则

由，得²

整理得将（*）式代入，又

代入，解得，从而，故双曲线方程

 

[例9] 若F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足（）

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若此双曲线过N（2，），求双曲线方程；

（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B₁、B₂（B₁在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。

解：（1）由知四边形PF₁OM为平行四边行

又（）OP平分故PF₁OM为菱形

又由，（），则，

故（由）

由（舍）

（2）由，设双曲线方程

其过点N（2，），则

故所求双曲线方程为

（3）依题意得B₁（0，3），B₂（0，）

由，则共线

不妨设直线AB：，A（），B（）

由

由的渐近线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，则

，

又，

则

即，故

所以所求直线AB的方程为：或

 

[例10] 求经过定点M（），以y轴为左准线，离心率为2的双曲线右顶点的轨迹方程。  

解：设双曲线的右顶点为P（x，y），左焦点为F（）双曲线对称轴

设双曲线的半实轴，半焦距分别为，则离心率

由双曲线的性质，得

又由代入得（*）

由焦点F与准线y轴的距离为

故代入（*）得

，即

由双曲线的定义，有，即

即

又由代入得

即右顶点M的轨迹方程为

 

[例11] 已知抛物线的焦点为F，准线为，是否存在双曲线，同时满足下列条件：① 双曲线c的一个焦点为F，相应于F的准线为；② 双曲线c截与直线垂直的直线所得的弦长为，并且该线段的中点恰好在直线上，若存在，求出这个双曲线c的方程；若不存在，说明理由。

解法1：如图，设符合条件的双曲线c存在，则其右焦点F（0，0），右准线为，设离心率为e，点P（x，y）为双曲线上任意一点，则由

整理，得  ①

设与垂直的直线方程为，此直线与双曲线C交于A、B两点，其坐标为

把代入①式整理，得

当时，为方程的两实根

由弦长公式得

故适合条件的双曲线c的方程存在为

即

解法2：设弦AB中点坐标为Q（）由AQ斜率为

故，B（）

又点A、B到直线：的距离为及

由双曲线定义知：

即

由

因此，双曲线方程为即

解法3：设双曲线方程为

由已知

设

由  

两式相减，得

而即，即

由在双曲线上，则

又由

即

故双曲线

 

【模拟试题】

1. 若双曲线的两条渐近线是，焦点，则它的两条准线间的距离是（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 双曲线的两焦点F₁、F₂，弦AB过点F₁（AB在左支上），，则的周长为（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 若双曲线上一点P到它的左焦点距离是24，则P到右准线的距离是（    ）

    A. 32或    B. 32或    C.     D. 32

4. 设双曲线的半焦距为c，直线过（），（）两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为       。

5. 双曲线上有点P，F₁、F₂是双曲线的焦点，且，则面积为         。

6. 双曲线的离心率为，F₁、F₂为焦点，P在双曲线上，且的面积为，又，则双曲线方程是        。

7. 过双曲线的右焦点F₂作倾斜角为的直线，它们的交点为A、B，求：

（1）线段AB的中点M与F₂的距离；

（2）线段AB的长度。

8. 已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点且与以点A（）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点与A关于直线对称，设直线过点A，斜率为

（1）求双曲线S的方程；

（2）当时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线的距离为；

（3）当时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线的距离为，求斜率的值及相应的点B的坐标。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. A    2. B    3. B    4. 2    5.     6.

7. 解：（1）

，则

另法由下略

（2）由

则A、B分别在双曲线两支上，

也可

8. 解：（1）由已知双曲线两渐近线方程为，因而S为等轴双曲线，设为

又，故，即双曲线方程为

（2）设B（）是双曲线S上支上到直线的距离为的点

则   即B（）

（3）当时，双曲线S的上支在直线的上方，故点B在直线的上方

设直线与直线：平行，两直线间距离为，且在的上方

则双曲线S的上支有且仅有一个点B到直线的距离为等价于直线

与双曲线S的上支有且只有一个公共点

设的方程为，由上的点A到的距离为，可知

又由直线在直线的上方，故

由方程消去，得

因，则

令，由，则或

当时，，解得   即B的坐标为B（0，）

当时，，解得  即B的坐标为B（）