图说初等数学一直将无穷多各异直线误为同一线(压5)

——不识“更无理”数使初数一直将某类无穷集误为一元集

黄小宁（广东省广州市）

[摘要]据集合相等的定义证明了初等几何应有最最起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图重合；从而表明初等数学一直将无穷多各异直线（平面）误为同一线（面），以及将各异函数误为同一函数。证明了各增函数y（x）（y=x除外）的值域必≠定义域，从而让初数一直用而不知的R外标准实数一下子浮出水面；不识这类“更无理”数使初数一直将各异直线（段）误为同一线（段）从而使“已非常成熟”的初数在数与形的结合上一直存在尖锐自相矛盾。保距变换和≌图概念是数学“x光机”使人能一下子看出有外部形状相同但内部形状不相同的伪≌图形。病态的“无穷集W可～V⊂W”的症结是初数一直将≠V的集误为=V。

[关键词]等长却不等形（内部形状不同）从而不≌的伪≌直线段；将N（R）外数误为N（R）内数从而将伪N（R）误为N（R）；推翻百年集论；从小到大、一个不漏的每一（一切）元

教学，首先要教人学习钟南山院士敢于实事求是坚持真理的高尚品德。素质教育和研究性学习要求学生不能做分数的奴隶不能当没思维能力的复读机，而要成为有发现问题解决问题能力的人才。初数中关于一次函数与直线（段）的理论是师生们不屑一顾的初数中的初数，然而集合相等的定义凸显初数一直将无穷多各异直线误为同一线，原因是：不识“更无理”数使初数出现违反集合起码常识的错误。定义域为R的φ（x）=x是初数中最简单的一次函数，然而坐标相同的点才能重合这一初数起码常识凸显初数一直将无穷多各异函数误为同一函数：φ（x）=x。初等几何有史2300多年来一直认定：有无穷多个公共点的直线必重合[据此有初中的直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异点有且只能有一条直线]；等长的直线段必≌。然而初数的保距变换概念让中学生也能一下子认识有无穷多长度均是1却互不≌的直线段。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。其实初数中的直线y=x变为直线y=2x是不保距的拉伸变换使变换前、后的直线不≌。由错误的公理推出的“定理”是伪定理。

一、图说集合相等定义凸显初等几何应有最起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图重合——直线A沿本身平移后就≠A了

从代数角度来说至少能代表两个数的字母x就是变数，只能代表一个数的字母x是固定数（特殊的变数：其变域是一元集的变数）。变数x所取各数也均由x代表，x代表其变域内任一元。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R所有非负元x≥0组成R⁺=｛x≥0｝，这里的x≥0不是表示x可取一切非负数而只是表示x可取R一切非负数；其余类推。R⊃N各元x有对应标准实数x+1、2x、xⁿ（n≥2）等等。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），因各实数都可是数轴上点的坐标所以数集A可几何化为数轴上的点集A从而使x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）即实数的改变的几何意义是g内质点的位置的改变。R可几何化为R轴。数学图可是“离散”的点组成的点集｛0，1｝（各数是点的坐标）。

设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”就是课本上说的直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。定义：若数（点）集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。

c=0.0001,R各元x保距变大为y=x+c>x组成元为y的｛y｝的几何意义可是：R轴即x轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+c生成元为点y的y=x+c轴即x轴沿轴平移变为y=x+c轴（≌x轴）叠压在x轴上；R各x变为y=（1+c）x组成...的几何意义是x轴各元点x沿管道不保距平移变为点x+δ=y=（1+c）x...即x轴沿本身拉伸变换为y=1.0001x轴。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直认定y=x±c（y=1.0001x）的值域=定义域），因有直线公理。其实这是违反数集相等定义的肉眼直观错觉。

数集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛3，5，6｝≈｛3，5，6.001≈6｝）。集各元变回自己的变换称为集的恒等变换。本文最关键的论据之一：若A与B是同一集则A必能恒等变换地变为B=A。

R各元x变为y=-x得元为y的B=｛y=-x｝=R，R、B的元可一一对应相等：x=e↔y=-x=x=e，但要注意-x=x=e中等号两边的x是不相等的，此x=e，彼x=-e。上述x轴各元x与y=x+c轴各元y=x+c≈x一一对应近似相等使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换, x轴近似恒等变换地变为y=x+c（≈x）轴≈x轴。显然R各元x只能与各对应数x+c≈x+0中的x一一对应相等而与各x+c≈x本身一一对应近似相等。可见中学的数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+d（d是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。注：直线段U=[0，1]⊂x轴（且⊂y=x+c轴）各元x与[0，1]⊂y=x+c轴各元y=x+c可一一对应相等：x=j↔y=x+c=j，但要注意↔两边的x是不相等的，此x=j彼x=j-c，j的变域是U。各元x=j变为y=x+c=j是恒等变换，而各元x=j变大为y=x+c>x不是恒等变换。组成整体A=｛x｝的个体x都保序变大（小）为y>（<）x形成的新整体B=｛y｝显然不能还是原整体A了，因A不能恒等变换地变为B。例：“无界”的“整数集”Ю=｛±n|n的变域是“自然数集”N｝各元±n的对应数±2n的全体B=｛±2n｝各偶数±2n保距变大为奇数±2n+1组成的G=｛±2n+1｝≠｛±2n｝了。这变换的几何意义是点集B平移距离1变为G≌B。由高矮各不同的树苗组成的集A各元都长成大树形成由大树组成的B显然≠A了；同样数集S各数都变大（小）后形成的新集显然不能还是S了。人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑。

点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。R=｛y=x｝各元y=x是直线U：y=x各元点p（x，y=x）的纵坐标y，各p的横标不变只是纵标y=x保距变为y′=x+c≈x（正常数c≈0）就使各点p变为点p′（x，y′=x+c）得元为p′的直线V（∥U）：y=x+c≈x。U与V近似重合的原因是两线各元点的纵标y=x与y′=x+c≈x一一对应近似相等；显然若“一一对应相等”则两线必重合，所以两线不可重合形象直观地说明R各元x与各对应数x+c不能一一对应相等。现实中有的液体例白酒肉眼看是水，初数中有肉眼看是x轴的y=x+1轴等以假乱真的伪x轴。

点集A各点运动后还回到原位置是A恒等变换地变回自己，但要注意A变回自己不一定是A的恒等变换。在平移变换：x↔x+常数d（↔两边的x是同一x）和点（x，y）↔点（x+d，y+d）中当且仅当d=0时才是恒等变换,即当且仅当d=0时各x与各对应x+d才能一一对应相等；...。同样空间点集A平移距离ρ变为B≌A，当且仅当ρ=0时才是...，ρ≈0时是近似恒等变换。所以应有：

h几何起码常识:当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图是同一图。换言之，至少有两个元点的图A平移非0距离变为B必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理和平面公理。

据h几何常识复平面z平移变为z+b面≠z面（b是非0复常数）。平移前、后的直线⊂相应平面是否同一线不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明。

h定理1：⑴数（点）集A=B≌B的必要条件是A≌B。⑵直线A沿本身平移变为B≌A，当且仅当平移的距离=0时才能使A=B。

证：⑴若A=B则A必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换。A变为B=A就是变回自己。D=｛6,8｝变为｛8｝等价于D中的6变为8使D失去元素6。集随元的变换而变换，数集A变为非空的B是因A各元x变为新的数y（x）组成B=｛y｝。除了变回自己，A各元x要如何变才能使各x的像y的全体还=A？D=｛6,8｝中的6变为D外数9就使D变为｛9,8｝≠D，除非同时9又变为6，而6变为9的同时9又变为6的变换等价于6没任何变化。D=｛6,8｝要变回自己，其各元x就不可变为D外数而只能由x变为y∈D地变化，即x变为的y（x）必还是D中数。6∈D变为8∈D就使D失元6变为D的真子集｛8,8｝，除非...。数集A一元x₁变为x₂（≠x₁）∈A就使A失一元x₁，x₃变为x₁就使失去的元x₁又“回来”了，但代价是A又失一元x₃，...；这是一对一的。所以A一元x变为y∈A必使A失一元，除非同时y又变为x。｛6,8｝=｛8,6｝说明D内两数之间互换位置不能使D变为≠D。由此可见A变回自己时A的元x若不变回自己就只能变为别的元y∈A，但此变换只能是“你变为我的同时我又变回你”的两元之间互换位置的换位变化（否则必使A失元）。所以A变为B=A≌A的变换（这是一一对应变换）只能有两种：①恒等变换；②A（A中各数互异）中：有的数变回自己有的数与别的数作“你变为我的同时我又变回你”的换位变换，或各数都与别的数作换位变换，才能使A变回自己。①②都是保距变换说明A变为B=A≌A只能是保距变换。

⑵设有中心点的直线A各元点的坐标是x从而使A是x数轴，x轴可沿本身平移变为y=x+1轴=直线B；...。点集U=｛……｝⊂x轴各点x到点x=0的距离|x|是变数，U各点x沿x轴方向保距平移变为点y=x+常数b就使U平移变为C={y=x+b}≌U。若U=C则显然C各元点y=x+b到点x=0的距离|y=x+b|与距离|x|必是同一距离函数，显然当且仅当|y=x+b|中的b=0时才能有|y=x+b|=|x|。同样直线A沿本身平移变为B≌A，...必是同一距离函数，当且仅当...。证毕。

初数有几百年函数“常识”：R⁺各元x≥0的对应数y=kx≥0（或y=x^k≥0）（k是非1正常数）的全体=R⁺。射线R⁺：x≥0沿本身均匀伸缩变换为元是点y=kx≥0的射线B（不≌R⁺）：y=kx≥0，据h定理1R⁺≠B；同理R⁺各元x≥0的不保距对应数y=x^k≥0的全体≠R⁺。

点集U=｛...｝均匀拉伸（放大）变换为V=｛.  .  .｝（U各点彼此保序拉开了一段距离形成V）。相比下U（V）是组织结构较紧实（松散）的点集。当规定a：“各点只能作位置改变而不能作别的改变”时，均匀拉伸（压缩）变换将相比下组织结构较紧实（松散）的点集拉伸（压缩）成结构较松散（紧实）的点集。点集A任两异元x与x+△x间的距离是|△x|>0，A各元x的对应点y=2x（△y=2△x）的全体B=｛y=2x｝（～A）任两异元y与y+△y间的距离是|△y|=|2△x|>|△x|，我们就说相比下A（B）是组织结构较紧实（松散）的点集，当有规定a时。

通过x光机才能看到骨头的内部形状。直线段A=[0，2]⊂x轴均匀压缩变换为直线段B（～A）=[0，1]⊂相应数轴。显然相比下B（A）是组织结构较紧实（松散）的点集，所以线段A的一半B′=[0，1]⊂A不≌B，因组织结构不同的两点集有不同的内部形状从而互不≌（严格证明见第6节），正如将一大包海绵碎料A压缩成一小块物体B,B不是A的一小部分一样。

复平面z均匀伸展（放大）变换为2z面不≌z面，据h定理1z面≠2z面。定义域为z面的w=f（z）=2z与定义域为2z面的w′=f（2z）=2（2z）不是同一函数，因w的自变量z与w′的自变量2z不相等。中学的平面公理使初数一直误以为2z面=z面，进而误以为w与w′是定义域与对应法则都相同的函数。

二、初数常识凸显初数一直将各异函数误为同一函数——自变量不同的函数不是同一函数

定义域与对应法则都相同的函数才能是同一函数，搞错定义域就会将两异函数误为同一函数，进而将两异函数关系图误为同一图。

本文的函数y=y（x）是动点p（x，y=y（x））的纵坐标：变数y=y（x），y（x）的自变量x是点p的横标，点p运动的轨迹是y（x）的函数关系图——形象地表示两变数：x与y=y（x）之间的对应关系的关系图。函数关系式y=2x中的函数即变数y与函数关系本身是两根本不同的概念。如函数的定义域不是函数本身一样，函数的对应法则（关系）不是函数本身。

“若自变数x=2（x/2）=2t则函数y=y(x)=y(2t)=x中的x=2t是自变量，而t不是自变量；......所以一般的函数y(x)都是函数x(t)的函数^[1]。”-x=x=3中等号两边的x是不相等的，此x=3彼x=-3。自变量x由x改换为x′=-x=x是变回自己的改换，但要注意等号两边的x是不相等的，此x=x′彼x=-x′。R=｛-x｝=｛x｝。定义域都是R的y=φ（-x）=x′=-x（自变量-x的变域是R）与y=φ（x）=x是同一函数，两函数有相同的自变量即x′=-x=x。

h定理2:若y=f（x）与y′=g（x′）是同一函数则必有y=y′及x′=x。

证：可用一维空间中的固定点表示固定数，用动点表示变数。将要用n≥1个数表示其位置的点称为n维点。一维空间管道内的y数轴可变换为Y=f_i（y）（i=1，2，3，...）数轴与y轴重叠或重合，同样x轴可变换为X=f_i（x）（i=1，2，3，...）轴与x轴...。其余类推。可设：Y轴⊥X轴且相应Y轴的原点与相应X轴的原点重合。初数常识：X轴上的两个自变动点x与x′（x与x′是点的坐标）可映射为Y轴上的两个（因点x、x′的变动而变动的）因变动点y=f（x）和y′=g（x′），动点y与y′表示变数y与y′。显然若y=f（x）与y′=g（x′）是同一变数则Y轴上表示这两数的点y与点y′必是同一点而有y=y′。

一变数y=f（x）（或y′=g（x′））与一动点p（x，y=f（x））（或动点p′（x′，y′=g（x′））相对应。若y与y′是同一变数则点p与点p′是同一动点而有（x，y）=（x′，y′）——说明若y=f（x）与y′=g（x′）是同一函数则必有y=y′及x′=x。证毕。

x轴即R轴各元点x不保距平移变为点x+δ=x′=2x就使x轴沿本身拉伸变换为x′=2x轴不≌x轴。R=｛y=x｝中定义域为R（x轴）的函数y=x的函数关系图是直线y=x，将y=x中的x改换为x′=2x就使y变为定义域是x′=2x轴的y′=φ（x′）=x′=2x，y′的函数关系图是直线y′=φ（x′）=x′。显然若x′=2x轴=x轴则直线y=x与直线y′=x′必是同一线。y=x的自变量是x，而y′=x′=2x的自变量是x′=2x，“x（变域为R）=x′=2x（等号两边的x是同一x）”不能成立说明y′与y是自变量不同的函数从而不是同一函数。但初数却据直线公理认定：因x′=2x轴=x轴所以直线y′=x′与直线y=x重合，y′与y是同一函数。

其实据h定理1不≌x轴的x′=2x轴≠x轴，直线y=x变为直线y′=x′=2x是直线y=x沿本身的拉伸变换使直线y=x不≌直线y′=x′，初数一直不知“重合”是肉眼直观错觉。x轴可沿本身伸缩变为元是点x′=x³的x′=x³轴不≌x轴。直线y=φ（x）=x的自变量x由x改换为x′=x³就使直线y改换为直线y′=φ（x′）=x′=x³。y′与y是自变量不同的函数从而不是同一函数——说明直线y与直线y′只有重叠关系而没重合关系；同样当x′=x+2（或=5x等等）即x′是x的相应函数时相应的直线y′=φ（x′）=x′与直线y=x不重合。所以有胡子的不一定是爹，斜率为1且过原点的直线不一定是直线y=x，初数一直将无穷多各异直线（函数）y′=x′（x′可=xⁿ（n=3,5,7，...）可=...）误为同一线：直线（函数）y′=x′=x。“肉眼数学”必被“实无穷”中的表面假象迷惑。

如[1]所述，Y轴上的y=x轴沿轴正向平移距离2变为y′=x′=x+2轴，Y轴上有沿轴移动的点y=x∈y=x轴和点y′=x′=x+2∈y′=x′轴（x的变域是R）；y′=x′=x+2>y=x，据h定理2y′与y不是同一函数——说明它们的函数关系图：直线y=x与直线y′=x′不重合；注：直线y=x变为直线y′=x′=x+2是直线y=x沿本身平移距离2的变换，据h定理1直线y≠直线y′。

h定理3:若A～无穷数集W≠A则A必≠W的任何真子集V⊂W。

证：W各元x变为x′=g（x）（g≠φ）组成A=｛x′｝～W≠A。y=φ（x）=x是定义域为V=｛x｝⊂W的函数，y′=φ（x′）=x′=g（x）是定义域为A=｛x′=g（x）｝的函数。假设V=A成立则y′与y是定义域与对应法则都相同的函数从而是同一函数，然而事实上它们不是同一函数。若x′=g（x）=x则对应法则g=φ使W=A=｛x′=g（x）｝，然而事实上g≠φ使W≠A——说明x′=g（x）=x不能成立，据h定理2y与y′不是同一函数。所以假设不成立即V≠A。证毕。

三、不识“更无理”数使初等数学一直存在尖锐自相矛盾——图说有无穷多长度均是1却互不≌的直线段

由3个点组成的A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这3个点∈A，但其不保距地改变位置后形成的新点集B与A有不同的“长相”。中学生都懂的初等几何最最起码常识e：图≌本身。R轴即x轴的子部射线R⁺⊂x轴:x≥0各元点x沿x轴方向不保距平移变为点x+δ=x′=x²形成元为点x′≥0的...即射线R⁺伸缩成射线S（不≌R⁺）：x′=x+δ=x²≥0。如[3]所述，直线段U=[0，1]⊂R⁺⊂x轴各元点x沿x轴不保距平移变为点x+δ=x′=x²形成元为点x′的线段U′（不≌U）=[0，1]⊂S。这不保距变换使U两端点平移的距离均=0，其它各点x沿x轴负向不保距平移的距离均≠0。“U′=U≌U”其实是肉眼直观错觉从而使初数存在尖锐自相矛盾：据常识e由U′不≌U知U′≠U，但据中学函数“起码常识”U′=U≌U。据≌图概念这等长且等势的U′与U互不≌说明两者大小相同形状（内部形状）不同。产生出尖锐矛盾的原因不是几何常识e错了，而是初数一直将R外数误为R内数从而将两异区间误为同一区间。可见保距变换和≌图概念是数学“x光机”使人能透视到直线段（及圆盘等）的内部形状，对此，作者另有已在“预印本”上公布的长文专门论述。据h定理3，≠U的U′～U不是U的任何真子集——说明数集U′=｛x′=x²｝=[0，1]⊂S不能被U包含而必有正数元x′=x²=t（设这里的t表示数学前所未知的“特异”数）“更无理”地突出在U外。没数学x光机时的数学是“肉眼”阶段的数学。在人体上写上毛笔字，附着在人体上的字不是人体组织；同样附着在射线R⁺上的直线段U′不是R⁺的子部。直线段U（U′不≌U）绕其中心旋转可得圆盘θ（ω），显然θ不≌ω，两者大小相同内部形状不同；U与U′不≌U平移可生成内部形状各不同的两平行四边形盘等等。

在未识0与负数时人们通过“对一切正数x都有对应x-1<x”就知有数x-1<一切正数x，同样“对数集γ=（0，0.9]⊂U一个不漏的每一（一切）元x>0都有对应x′=x²<x即对γ一切元x>0都有正数x′比x小”明确表示有“更无理”正数x′=t<γ（=（0，0.9]⊂U）一切数x，这正数t显然<R一切正数x；“真理都是很朴实的”，关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。这表明R中有“更无理”的太小正数x小到使其对应数x^k（常数k≥2）（<x）<R一切正数x。不识此类R外正数就使初数一直将伪重合直线段误为重合线段从而产生出上述尖锐矛盾。不识“更无理”数就不能从数、数量关系的高度上来认识伪≌直线段，从而以为附着在R×R平面上的曲线必是该面的子集。

U=｛y=x｝=[0，1]⊂R⁺各元y=x是直线段Z：y=x（x的变域是U=[0，1]⊂R⁺）各元点p（x，y=x）的纵标y，各p的横标不变只是纵标y=x保序变为y′=x²得元为y′的U′=｛y′=x²｝就使点p变为点p′（x，y′=x²）得元为p′的抛物线段P：y′=x²（x的变域是U）。若U=U′即若U各元y=x与U′各元y′=x²（y与y′是各元点p与p′的纵标）一一对应相等，则二维图Z、P各元点p与p′必一一对应重合使Z与P重合。所以直线段Z≠抛物线段P形象直观地说明U各元x与各对应数y′=x²∈U′不能一一对应相等使U′≠U。同样可形象直观地说明U各元x与各保序对应数y′=x³不能一一对应相等使y′的全体≠U；同样...。

四、除了y=x以外的各增函数y的值域必≠定义域——初数一直将R外数误为R内数从而一直将无穷多各异数轴误为同一轴

h定理4（[2]中的h定理2）：数集（一维空间中点集）A保序变为B=A只能是恒等变换（从而表明除了y=x以外的各增函数（保序函数）y=f（x）的值域B必≠定义域A）。

证1：A各元 x 保序变为y=f（x）组成B={y=f（x）}中的增函数（保序函数）y=f（x）的定义域是A，值域是B。据h定理1A保序变为B=A≌A只能是保序且保距变换。一维空间内点集A的保序且保距变换只能有两种：恒等变换；A沿一维空间平移的变换：A各点x保距平移变为点y=f（x）=x+常数d组成B={y=x+d}≌A。而当且仅当平移的距离|d|=0时才能使平移前、后的点集是同一集。所以A保序变为B=A≌A只能是恒等变换。

证2：对h定理1的证明中指出A变为B=A的变换只能有：①恒等变换；②A中：有的数变回自己有的数与别的数作换位变换，或各数都...。②是不保序变换，只有①是保序变换说明A保序变为B=A只能是恒等变换。证毕。

据h定理4x轴即R轴（空间直线）沿本身非恒等变换地保序平移、伸缩变为y=f(x)=kx+b（k>0）（或保序伸缩为y=x³轴等等）轴≠x轴可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛，而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异数轴误为同一轴：R轴。将各异直线误为同一线自然就会将各异平面误为同一面，因平面由相互∥的直线组成（空间由平面组成）。将元为直（射）线（平面）的无穷集误为一元集显然是“以井代天”的“井底蛙”误区。据h定理3～R轴的y轴不能是x轴的任何真子集，y轴≠R轴且也不⊂R轴说明y=kx+b轴不能被R轴包含而必有元点y₀在R轴外。初数一直将用而不知的“更无理”数y₀误为R内数。

“整数集”Ю=｛…，-2，-1，0，1，2，…｝各元 x非恒等变换地保序变为y=x+1>x得元为y的 B=｛…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…｝～Ю，据h定理4Ю≠B，据h定理3B～Ю不是Ю的任何真子集，B≠Ю且也不是Ю的一部分说明B不能被Ю包含而必至少有一元y=x+1>x∈Ю在Ю外，这Ю外的整数y显然是大于Ю（N）一切数的标准无穷大自然数；不识Ю外数y使初数一直误以为B=Ю。

自然数公理使初数一直有“常识”：N各元n的对应数n+1均∈N。N各元n变大为y=n+1组成H=｛y=n+1｝～N，据h定理3H～N不是N的任何真子集，H不是N的一部分说明H=｛y｝不能被N包含而必至少有一元y₀=n₀+1在N外，显然这N外标准自然数y₀>N一切元n，详论见[3]。

五、初数应有几何起码常识：刚体运动不能使任何图T变为其一部分且T不能≌其一部分

h定理5([2]中的h定理3）：若点集A≌B则A各元点p与B各元点p′互为原像和像，从而使A各点p到A任一固定点p₀的距离ρ=ρ′=B各元点p′到点p₀′（p₀）∈B≌A的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。

证：A各点p保距变为点p′（p）生成B=｛p′（p）｝≌A，A各元点p的像点p′（p）是B=｛p′｝≌A各元点p′（p），点p₀∈A的像点是p₀′（p₀）∈B≌A，由A≌B的定义ρ′=ρ。证毕。

变数n取自然数∈N。工程图有虚线，可将点集N=｛0，1，2，…，x=n≥0，…｝⊂x轴看成是“虚射线”:.......（这不是省略号）。

h定理6：射线（虚射线）A沿其正向平移非0距离变为的B≌A不能被A包含而必有元点在A外。

证1：设射线A各元点（一维点）的坐标是u。射线A={u≥0}（有子部射线u≥1等等）沿其正向平移变为元是点v=u+b≥b（b是正常数）的射线B={v=u+b≥b}≌A。≌A的B真的=A的子部B′={u≥b}⊂A吗？据h定理3B～A不是A的任何真子集即B={v=u+b≥b}不能被A包含而必有元点v₀在A外。所以射线（虚射线）A沿其正向平移非0距离变为的B≌A不能被A包含而必有元点在A外。

当各射线都没“绕其中心点旋转180度的变换”时若射线α≌β则α的起点与β的起点互为像和原像。射线A={u≥0}各点u≥0到A的起点u=0的距离ρ是u≥0，射线B′={u≥b>0}⊂A各点u≥b（u-b≥0）到B′的起点u=b的距离ρ′=|u-b|=u-b≥0即u≥b。ρ′≠ρ，据h定理5B′不≌A，而B≌A，所以B≠B′⊂A。

证2：(限于篇幅不得不略去）。证毕。

以上说明“射线可≌（～）其一部分”的症结是初数一直将两异射线误为同一线。射线R⁺={x≥0}⊂R轴有子部B′={x≥1}⊂R⁺，R⁺沿R轴正向平移变为元为点y=x+1≥1的射线B=｛y=x+1≥1｝≌R⁺，据h定理6B～R⁺不能被R⁺包含而必有元点y=x+1=t在R⁺={x≥0}外。人类发现无理数后的2500年里一直无人能识“更无理”的R外数t使初数一直将t误为R内数。发现t就推翻了“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。“对任何负数x都有对应y=x+1>x”明确表示有数y>任何负数x，同样“对R（N）一个不漏的每一（一切）元x都有对应y=x+1>x即对R（N）一切元x都有y比x大”明确表示有“更无理”数y=t>R（N）一切元x；关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。初数认定B=｛y=x+1≥1｝=B′={x≥1}⊂R⁺，然而存在>R⁺一切元的y=t∈B说明B是比B′⊂R⁺长的射线从而使B不≌B′。这说明R（N）中有“更无理”的“太大”数x大到使其对应数y=x+1>x“更无理”地>R（N）一切数x，初数一直将这类R（N）外数误为R内数从而误以为：射线通过平移可变为其一部分。

自有射线概念2300多年来几何学一直不知有长度不同的伪≌伪重合射线。由上可见应有几何起码常识：若射线α包含β且α有元点在β外则通过画图可一眼看出：α比β长。不等式起码常识：y=x+1>x∈R中的x可取何数，y就可>何数，说x可一个不漏地遍取R一切数就是说y可>R一切数而取R外数。代数起码常识：若不等式y>x中的x代表R任何元则此式所代表的内容之一：有数y>R任何元x（下节还要继续证明此事实）。可见初数的“R含一切标准实数”与不等式、代数起码常识激烈“打架”。

六、“'一变多’变换不是刚体变换”让初数一直用而不知的R外标准实数一下子浮出水面——有“更无理”标准正数>（<）R一切正数

设J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表J各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。保距变换是刚体运动（变换），保距变换的特点之一：一个点只能变为一个点。R各元x有对应标准数y=y（x）=kx。x轴各元点（x，y=0）变为两个对应点：（x，y=0）、（x，y=2x），所有对应点形成的点集是两条直线：y=0、y=2x合并成的直线集不≌x轴。这“一变二”（即用两个点替换一个点）的变换不是x轴的刚体运动即不是保距变换从而使变换前后的点集不≌。这“一变二”的变换将一直线（x轴）变为两条直线。

射线R⁺={x≥0}⊂R轴沿R轴正向平移变为元是点u₁=x+1≥1的新射线｛u₁=x+1≥1｝≌R⁺，据h定理6新射线不是R⁺的任何真子集。R⁺={x≥0}⊂R轴各元点x≥0“一变多”地变为四个点：u₀=x≥0、u₁=x+1≥1、u₂=x+2≥2，u₃=x+3≥3生成点集E=｛u₀、u₁、u₂、u₃｝=｛u₀=x≥0｝∪｛u₁=x+1≥1｝∪｛u₂≥2｝∪｛u₃≥3｝=R⁺∪｛u₁=x+1｝∪...。这等价于射线R⁺先分别沿R轴平移变为新射线｛u_k=x+k｝（k=1,2，3），然后所有新射线与R⁺合并成E。R⁺变为E显然不是R⁺的刚体运动使E不≌R⁺，据h定理1E≠R⁺。包含R⁺的E≠R⁺说明E必有元点“更无理”地突出在R⁺外——说明中学“各新射线都⊂R⁺”是肉眼直观错觉。其实“对数集R⁺（N）一个不漏的每一（一切）元x都有对应u₁=x+1>x”明确表示有标准无穷大数u₁=t>R⁺（N）一切数x而在R⁺（N）外推翻百年“R完备、封闭”论。关键是连文盲都知...。存在±t说明两R轴重合在一起后，一R轴不动另一R轴沿轴平移非0距离变为的R′轴中必有元点突出在不动的R轴外；说明...。

虚射线N=｛x=n≥0｝⊂x轴各点x=n≥0有对应点：u₁=x+1、u₂=x+2，u₃=x+3，按证明射线R⁺外有R轴外的标准数点的方法可证：射线N外有“更无理”的标准自然数点t；显然数集N外的t是>N一切元n的标准无穷大自然数。

要注意固定集与变集的区别。某些不断运动的动点画出的图形是变点集，而射（直）线是固定的点集。不断增元的点集是不断地由一集变为另一集的变集。

射线x≥0可沿本身均匀压缩变为新射线u₂=x/2≥0。将上面的u_k=x+k（k=1,2，3）用u_k=x/k（k=1，2,3,4）替换即射线R⁺先分别沿本身均匀压缩变为新射线｛u_k=x/k≥0｝（k=2,3,4）不≌R⁺，然后...与R⁺合并成E=R⁺∪｛u₂｝∪...不≌R⁺。包含R⁺的E≠R⁺说明E必有元点在R⁺外。射线A={x≥2}⊂R⁺均匀压缩变为元是点y=x/2≥1的射线B={y=x/2≥1}，“对A一切元x≥2都有对应y=x/2<x”明确表示有y（≥1）<A一切元x≥2”；同样“对R⁺一个不漏的每一（一切）正数元x都有对应正数u₂=x/2<x”明确表示有正数u₂<R⁺一切正数x而在R⁺外，这说明有h结论：R中有“太小”正数x小到使其对应正数x/2<x“更无理”地<R一切正数x。

同样射线R⁺各元点x≥0“一变多”地变为四个点：u₀=x、u₁=x²≥0、u₂=x⁴≥0，u₃=x⁶≥0生成E=...。...。

x轴即R轴可均匀收缩成y=x/2轴。初数有流传几百年使世人深信不疑的函数“常识”：定义域为[0，2]⊂R的y=x/2的值域=[0，1]⊂R。直线段L={x}=[0，2]⊂x轴有子部U={x}=[0，1]⊂L，L各元点x不保距地变为点x+δ=y=x/2就使L均匀收缩变短成U′={y=x/2}（～L）=[0，1]⊂y=x/2轴附着在x轴上。“～L的U′=U⊂L”其实是肉眼直观错觉。据h定理3～L的U′不是L的任何真子集。若直线段α≌β则α中点和β的中点互为像和原像。假设 U≌U′成立则据h定理5相应的距离ρ=ρ′，然而U={x}=[0，1]⊂L各元点x到U的中点x=0.5的距离ρ=|x-0.5|，U′={y=x/2 }=[0，1]⊂y=x/2轴各元点y=x/2到U′的中点y=0.5的距离ρ′=|x/2-0.5|≠ρ；故假设不成立即U不≌U′，据h定理1 U≠U′。据≌图概念U′与U⊂L互不≌说明两者等长不等形（内部形状不同）从而是貌似重合的伪二重、伪≌点集。骨头的内部形状随骨密度的改变而改变，同样等长的U′与U有不同的内部形状；可见保距变换和≌图概念是数学x光机使人能看到 U′与U有不同的内部形状，出现医学（数学）x光机使医学（数学）发生革命飞跃。～L的U′=[0，1]⊂y轴不是L=[0，2]⊂x轴的任何真子集即U′不可被L包含说明U′={y=x/2}必至少有一元点y=x/2∈y=x/2轴在L外，这L外点的坐标y=x/2=t显然是“更无理”的R外标准正数t。“对L⊂R一个不漏的每一（一切）正数元x>0都有对应正数y=x/2<x”明确表示有“更无理”正数y=t<L=[0，2]⊂R一切正数元x>0，这t显然是<R一切正数x的标准无穷小正数。参见h结论，这表明L中有“太小”正数x小到使其对应正数x/2“更无理”地<R一切正数，初数一直将这类R外数误为R内数从而一直误以为U′=U⊂L。几何学有史2300多年来一直不知附着在直线a上的直线段不一定是a的子部使初数一直将两异直线段误为同一线段。

七、结束语

科学发展的道路不能是笔直的，有时误人歧途地走弯路是难免的。以上说明：正如有理数全体远不够用那样，R远不够用，例远不能满足数形结合的需要；中学的“R含一切标准实数”是“以井代天”的几百年“井底蛙”误区。破除迷信、解放思想、实事求是才能使数学从“井底”一下子跃出来进入到认识“更无理”数和“更无理”的伪二重、伪≌点集的时代，从而不再被蒙在“井底”。“以严格、严密为生命”的数学在不研究无穷集有多少个元时将伪二重集看成是二重集不是什么大错，但当...时还作此简化，那就使“天才”康脱误入百年歧途地推出错上加错的更重大错误：“部分可=全部”。备注：本文是原文的压缩稿，已对原文采取法律公证等法律保护措施。

参考文献

[1]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。

[2]黄小宁。初等数学2300年之重大错误 将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J];考试周刊;2018（71）:58。

[3]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。