求曲边梯形的面积——定积分的由来

    之前因为有点忙，很久都没更新了，望大家见谅。

    虽然之后的求定积分很多不需要用到定积分的定义，但是通过定义法去求定积分有助于我们更好地去理解定积分的一些性质，以及一些定理的证明。所以本文通过介绍定积分定义以及用定义去求一些简单的定积分，加深对定积分的理解。

    定积分产生的背景主要是曲边梯形的面积，曲边梯形的面积可以通过分割，近似求和，取极限得到最终值。

   首先是分割，设曲边梯形为y=f（x）大于等于零,x=a，x=b，x轴围成的曲边梯形。先对闭区间[a,b]进行分割，将其分割为n小块

    利用定义法求积分，需要找到一个分割，而为了方便计算，通常把一个闭区间均匀的分为n小块，然后利用定义法进行求和，求得n趋于无穷时的一个值，从而求出定积分。下面是几个例题。

    这题用到了等比数列求和公式，然后再用洛必达求极限，过程较为繁琐。当然，这些函数的定积分可以直接用牛顿莱布尼茨公式，只是我们为了加深对定义的了解，有必要算几个题。同时，利用定义法求极限运用到了数列求和的知识，以及数列的极限，助于我们更好的运用求极限方法。

这题用到了数列的裂项相消法。

   用定积分定义求定积分对于很多函数是很难办到的，比如三角函数，进行分割后的求和很难求出，因此下一篇文章我们将会将更加简单的方法。