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将军饮马问题  第一 六大模型 1、如图，直线l与I的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。  2、如图，直线l与I的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。  3、如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。  4、如图，点P、Q是∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。  5、如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。  6、如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。  第二 常见题目 Part1 三角形 1、如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值。 
2、如图，在锐角△ABC中，AB=4√2 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_____。  解：作点B关于AD的对称点B'， 过点B'作B'ELAB于点E，交AD于点F， 则线段B'E的长就是BM+MN的最小值 在等腰Rt△AEB'中， 根据勾股定理得到，B'E=4 3、如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值_____。 
Part2 正方形 1、如图，正方形 ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN +MN的最小值为_____。即在直线AC上求一点N，使 DN+MN最小。 解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM， 交AC于点N。则DN+MN =BN+MN = BM 线段BM的长就是DN +MN的最小值 在直角△BCM中，CM= 6，BC= 8 ， 则BM= 10 故DN+MN的最小值是10。 2、如图所示，正方形 ABCD 的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形 ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____。
3、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_____cm(结果不取近似值)
4、如图，四边形 ABCD是正方形，AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值。
Part3 矩形 1、如图，若四边形ABCD是矩形，AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点,求PC+PD的最小值。
Part4 菱形 1、如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC 上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值。
Part5 直角梯形 1、已知直角梯形ABCD中，ADIlBC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为_____。
Part6 圆形 1、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值。
2、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_____。 A.2√2 B.√2 C.1 D.2 解：MN上求一点P，使PA+PB的值最小 作点A关于MN的对称点A'，连接A'B， 交MN于点P，则点Р就是所要作的点 A'B的长就是PA+PB的最小值 连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形 ∴AB = 2 Part7 一次函数 1、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0) B(0,4) (1)求该函数的解析式; (2)О为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。 解：(1)由题意得：0=2x+b，4=b 解得k=-2，b= 4， ∴y=-2x+4
Part7 一次函数 1、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0)，连结OA，将线段OA绕原点О顺时针旋转120°，得到线段OB。 (1)求点B的坐标； (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC周长最小？若存在求出点C坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3)，过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点。 (1)求抛物线的解析式； (2)求当AD+CD最小时，点D的坐标； (3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A; 解:(1)①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切； ②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标 (2)连接BC，交直线I于点D，则DA+DC= DB+DC=BC，BC的长就是 AD+DC的最小值 BC：y=-x+3 则直线BC与直线x=1的交点D(1,2)。 3、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3,0)、C(0,-2) (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标； (3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合)，过点D作DEIIPC交x轴于点E，连接PD、PE，设CD的长为m，△PDE 的面积为S，求S与m之间的函数关系式。 试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。
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