小学奥数公式
1 每份数×份数＝总数 常用数据 ①1×9＋2=11 12×9＋3=111 123×9＋4=1111 1234×9＋5=11111 12345×9＋6=111111 123456×9＋7=1111111 1234567×9＋8=11111111 12345678×9＋9=111111111 ②9×9＋7=88 98×9＋6=888 987×9＋5=8888 9876×9＋4=88888 98765×9＋3=888888 987654×9＋2=8888888 9876543×9＋1=88888888 ③19＋9×9=100 118＋98×9=1000 1117＋987×9=10000 11116＋9876×9=100000 111115＋98765×9=1000000 1111114＋987654×9=10000000 11111113＋9876543×9=100000000 111111112＋98765432×9=1000000000 1111111111＋987654321×9=10000000000 1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=123454321 111111×111111=12345654321 1111111×1111111=1234567654321 11111111×11111111=123456787654321 111111111×111111111=1234567887654321 1111111111×1111111111=12345678987654321 = =225 =625 =1225 =2025 =3025 =4225 =5625 =7225 =9025 142857×2=285714 142857×3=428571 142857×4=571428 142857×5=714285 142857×6=857142 142857×7=999999 12345679×9=111111111 加法中的速算 （1）加法交换律 （2）加法结合律 （3）互补数 如果两个数的和是整十、整百、整千…那么这样的两个数叫做互为补数。 减法中的速算 （1）一个数减去几个数的和，可以用这个数依次减去和里面的各个加数。 （2）一个数减去两个数的差，可以用这个数先减去差里的被减数，再加上减数；或用这个数加上差里的减数，再减去被减数。 （3）一个数里连续减去几个数，可以交换减数的位置，差不变。 加减法混合运算的性质： （1）交换的性质：在加减法混合运算式题中，带着数字前面的运算符号，交换加减数的位置顺序进行计算，其结果不变。 （2）结合的性质：在加减混合运算式题中，可以把加数、减数用括号结合起来，当加号后面添括号时，原来的运算符号不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数。如： = = = 在加减混合运算中，根据运算定律和运算性质可以归纳为： 括号前面是加号，去掉括号不变号； 加号后面添括号，括号里面不变号； 括号前面是减号，去掉括号要变号； 减号后面添括号，括号里面要变号。 注：号是指数字前面的运算符号。 如果我们能够灵活运用运算定律和运算性质计算，会使计算做得又对又快。 乘法中速算 乘法中的速算，要运用以下定律： （1）乘法交换律 （2）乘法结合律 （3）乘法分配律 （4）乘法性质①两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。 ②一个数与两个数的商相乘，可用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。 （5）积的变化规律 （6）特殊数字的乘积 5×2=10 25×4=100 125×8=1000 625×16=10000 37×3=111 75×4=300 375×8=3000 除法中的速算 除法中的速算，要根据以下各种性质： （1）两个数或几个数的积除以一个数，可以先用积里的任何一个因数除以这个数，所得的商再与其他因数相乘。 = = （2）一个数除以两个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个因数。 （3）一个数除以两个数的商，可以用这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数；或者用这个数乘以商里的除数，再除以商里的被除数。 （4）两个或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相加。 （5）两个数的差除以一个数，可以用被减数、减数分别除以这个数，再把所得的商进行相减。 （6）商不变的性质：如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。 （7）乘除法混合运算的交换性质：在乘除混合运算中，带着数字前面的运算符号交换乘数、除数的位置，结果不变。 在乘法、除法和乘除法混合运算中，根据运算的定律和运算性质，可以归纳为： 括号前面是乘号，去掉括号不变号； 乘号后面添括号，括号里面不变号； 括号前面是除号，去掉括号要变号； 除号后面添括号，括号里面要变号； 注：号是指数字前面的运算符号。 等差数列求和 数列是指按一定规律顺序排列成一列数。如果一个数列中从第二个数开始，每一个数减去前一个数所得的差都是相等的话，我们就把这样的一列数叫做等差数列。 等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。 等差数列中相邻两项的差叫做“公差”。 等差数列中项的个数叫做“项数”。 = ×n÷2 n = ÷ ＋1 =（n－1）× ＋ 和倍问题 己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。 解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数。为了帮助我们理解题意弄清数量关系，从而找到解题的途径，最好采用画线段图的方法。 和倍应用题的解法可以牢记以下几个公式： 和÷（倍数＋1）=1倍数（较小数） 1倍数×倍数=几倍的数（较大的数）或 和－小数=大数 差倍问题 己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。 解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。 解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。 差÷（倍数－1）=1倍数（较小的数） 1倍数×倍数几倍的数（较大的数）或 较小数＋差=较大的数 和差问题 和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。可以选择大数作为标准数。以小数作为标准数，从和里减去两数的差，恰好是小数是2倍，除以2就可以求出小数；若以大数作为标准数，把小数加上两个数的差，正好是两个数，除以2就可以求出大数。 解答和差问题的基本公式是： （和－差）÷2=较小数 （和＋差）÷2=较大数 和－小数=大数 或：大数－差=小数 和－大数=小数 或：小数＋差=大数 九、年龄问题 己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。年龄问题的特点是： （1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。 （2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。 （3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。 年龄问题的解题方法是： 几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄 几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差 平均数 求平均数必须知道总数和份数，可以写成公式： 平均数=总数÷份数 总数=平均数×份数 份数=总数÷平均数 相遇问题 走路、行车等匀速运动中的速度、时间和路程三者关系的应用题叫行程问题。 行程问题根据题目的内容、性质所需要解答案的问题，又分为相遇问题、追及问题、火车过桥问题等。解答各类行程问题的基础，要掌握速度、时间和路程三种量之间的关系： 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系： 路程÷速度和=相遇时间 速度÷相遇时间=速度和 速度和－速度甲=速度乙 追及问题 运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。追及问题的基本数量关系是： 追及时间=追及路程÷速度差 追及路程=速度差×追及时间 速度差=追及路程÷追及时间 行船问题 船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题）。 船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是： 顺水速度=船速＋水速 逆水速度=船速－水速 由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。 船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2 因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。 顺水路程=顺水速度×时间 逆水路程=逆水速度×时间 过桥问题 过桥问题的一船的数量关系是： 路程=桥长＋车长 车速=（桥长＋车长）÷通过时间 通过时间=（桥长＋车长）÷车速 车长=车速×通过时间－桥长 桥长=车速×通过时间－车长 植树问题 在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类： （1）两端都种树 段数=棵数－1 （2）一端种一端不种 段数=棵数 （3）两端都不种 段数=棵数＋1 在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数 还原问题 还原问题又叫逆推问题。己知一个数的结果，再经过逆运算反求原数，叫做还原问题。解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。 方阵问题 很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。要开动脑筋，可用多种方法来解题。 方阵问题的基本特点是： （1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。 （2）每层人数=（每边人数－1）×4 （3）每边人数=每层人数÷4＋1 （4）实心方阵人数=每边人数×每边人数 = = =4×（最外层一边人数－层数）×层数 =4×（n-K）×K = 幻方与数阵 幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这相相等的和叫“幻和”。 数阵有三种基本类型：（1）封闭型，（2）辐射型（3）综合型 解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。有时，数阵问题的答案不是唯一的。 奇数与偶数 加法：偶数＋偶数=偶数 奇数＋奇数=偶数 偶数＋奇数=奇数 减法：偶数－偶数=偶数 奇数－奇数=偶数 偶数－奇数=奇数 乘法：偶数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×奇数=偶数 盈亏问题 解盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用。 公式是：人数=两次分配结果差÷两次分配数差 牛吃草问题 牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草。B.新长出的草。C.牛吃掉的草。牛吃草问题解法一般分为三步：一、求新生的草量；二、求原有草量；三、求出最终的问题。 还原问题 解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。 假设问题 假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。 余数问题 一个带余数除法算式包含4个数：被除数÷除数=商……余数。 它们的关系也可表示为：被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。 一笔画和多笔画 （1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。 （2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 乘法原理 如果完成一件事需要 个步骤，在第一个步骤中有 种不同方法，在第二个步骤中有 种不同方法，…在第 个步骤中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 加法原理 如果完成一件事有几类方法，在第一类方法中有 种不同的选择，在第二类方法中有 种不同选择…在第 类方法中有 种不同的选择，那么完成这件事共有 种不同的方法。 排列 一般地说，从 个不同的元素中任取出 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 一般地，从 个不同的元素中任取出 个 元素，排成一列的问题，可以看成是从 个不同元素中取出 个，排在 个不同的位置上的问题，每个排列共需要 步，每一步又有若干种不同的方法，排列数 可以这样计算： 组合 一般地说，从从 个不同的元素中任取出 个 元素组成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素中一个组合，所有组合的个数，用符号 表示。 因此我们可以得到组合公式： 抽屈原则 抽屉原则：把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 我们把这个结论称为抽屉原则一。 由此我们可以得到抽屉原则二。 把（m×n+1）个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个抽屉里有（m+1）个（或更多的）苹果。 说明：应用抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考。 列方程解应用题 列方程解应用题的一般步骤是： 1、根据据题意设某一个示知数为 ； 2、依题意找出题中相等的数量关系； 3、根据相等的数量关系列出方程； 4、解方程； 5、检验并写出答案。 整除的特征 7整除。 分解因式 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 一个自然数的约数的个数，恰为质因数的指数加1后的乘积。 一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。 一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。 最大公约数与最小公倍数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 求两个数的最大公约数一般有三种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 求几个数的最小公倍数的方法也有三种： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3） 分数的比较 分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。 分子相同的分数比较大小，分母大的分数反而小。 分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。 用“第三个数”—— 比较大小 用“第三个数”——1比较大小 一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。 一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子），所得的新分数比原分数小。 一个假分数的分子、分母都减去同个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新分数比原分数大。 一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。 （对折后剪的次数）×2＋1=得到的段数。 最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。 3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。 钟表问题 1解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转化为相遇或追及问题来解答。 2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。 圆的计算 1解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1”的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。 2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。 3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。 利润问题 1商品定价高了，就可能卖不掉，那么就要降低利润（甚至亏本）减价出售，减价也叫打折扣，减价20﹪，就是按定价的1-20﹪=80﹪出售，通常也叫做打八折出售。 2利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分密切的，解答利润问题你必须理解以下的关系式。 （1）利润=卖价－成本 （2）利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100﹪ （3）卖价=成本×（1＋利润率） （4）成本=卖价÷（1＋利润率） 工程问题 1在解答工程问题时，常把“一项工程”看作单位“1”，根据工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系进行解题。 2解题时，要善于运用常见的数学思想方法—如假设法、转化法、代换法。 数进制 1将任意一个P进制的数 改写成十进制的数，只要写成 ，计算其相应的结果。 2将任意一个十进制数化为P进制数 都可以用P去除这个数，记下余数，直至商为0，然后将余数自下而上依次排列。 3二进制的妙用，在日常生活中经常会碰到，应灵活运用。 圆柱和圆锥 圆柱体的侧面积= 圆柱体的表面积= 圆锥体的体积= 比和比例 1、解答按比便分配的应用题，关键是根据题目的己知条件，找出部分量与总量之间的关系。把己知数量与份数对应起来，转化为求一个数的几分之几来做。即按以下公式 2、对通过增减数量来改变原来的比例关系的题目，解答时要抓住不变的量来解题。 |
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