导数的几何意义（五）——隐零点问题

隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来表示而已。

比如这个函数有一个零点，这个零点的值可以直接求出来：

这个结果安排的明明白白，就是一个具体的值。

现在再给你一个函数：

假如让你求出它的零点，你又该如何应对呢？如果令：

我们知道这个方程有解，交点就在第一象限的A点，是个显眼包：

但这个A点具体的横坐标是多少呢？我们没办法给出一个确定的值。

也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不可描述，这时候我们就称为这个零点为隐零点。

本质上，隐零点也是零点，是一个没办法描述具体值的零点。

虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个零点的大致范围。

求导之后，我们就能知道这个函数是单调递增的：

既然单调增，那么我们令：

如果我们找到：

那就可以确定零点的大致范围：

这里的区间开闭都可以。

针对上述函数，我们尝试具体的值代入：

也就是说，我们可以得出零点较为具体的范围：

这个范围还是太宽泛了，我们还可以再精准一些：

如果题目的要求还需要更精准，你当然可以继续尝试具体的数字，逐步缩小范围就OK。

知道了隐零点的值的范围，我们能做什么呢？

它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数，当成一个确定的常数来用，然后瞒天过海完成运算。

比如让你证明这个不等式成立：

很明显，函数定义域大于2。

要证明这个函数大于0，只需要证明它的最小值大于0就可以了，我们首先需要搞清楚函数的单调性，求导观察：

为了更明确地观察一阶导函数的单调性，我们可以对一阶导再次求导：

二阶导大于0，说明一阶导函数是单调递增的，令一阶导函数为0

很明显，我们此处又碰到了隐零点问题，这个方程，我们是没办法解出来的，此时我们可以设x0为它的零点，然后尝试代入具体的数值，找到这个零点的大致范围：

因为一阶导函数是单调递增的，所以零点肯定存在，且在-1和0之间，也就是说：

此时，就有这个等式存在：

用图像来表示导函数和原函数之间的关系，就是这样子：

针对原函数来说：

原函数的最小值为：

最小值比0大，就说明原函数是大于0的，不等式成立。

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