导数的几何意义（四）——零点问题

零点问题的本质是函数曲线和x轴是否有交点，以及有几个交点的问题；换句话说，如果令函数值为0，是求解这个方程是否有解，以及有几个解的问题。

考察方式有两种：

第一种是给定一个函数，考察该函数是否有零点，有的话，会有几个零点；比如考察这个函数：

首先确定函数的定义域为全体实数；

然后对函数求导，观察函数的单调区间和极值：

令导函数值为0，可以得到以下信息：

函数在-1之前是单调增的，-1和1之间单调减的，1之后，函数值继续单调增。

根据这些数据，画出导函数图（红色线条），确定函数的单调区间（用虚线分割），从而画出函数的大致走势图（青绿色线条）：

在有了函数图像的大致走势之后，我们现在必须确定函数在左右两端点的值，以及函数的极大、极小值都是多少。

因为函数为多项式函数，定义域为R，左右端点开放，从而左、右端点的值分别为-∞和+∞（端点值取决于其极限值，而极限值取决于首项）。

从图上可以看出，极大值和极小值分别为：

极大值：f(-1)=-1+3+2=4

极小值：f(1)=1-3+2=0

现在看来，上图中画出的函数的大致走势需要做些修改，左右两侧的端点值没问题，但极大值点和极小值点需要做些调整：

这么看来，函数在-1之前有一个零点，在1处恰巧又有一个零点，所以，这个函数在其定义域内有两个零点。

用geogebra画出函数的准确图像是这样的（深蓝色线条）：

可以看到，实际的图像和我们通过计算得出的结论，是一致的！

这是最常规的方式，解法也很简单：先求导确定函数的单调区间和极值，然后考察端点值、极值的情况。

另一种考察方式是这样：给你一个含参函数，并告知函数的零点个数是几个，根据这些要求，求参数的取值范围。

我们可以把上一个例子稍微做一些改动，加上一个参数，比如：

已知这个函数有三个零点，求参数a的取值范围。

最常规的做法是和刚才一样：同样先求导，确定单调性区间和极值。

函数是否含参，不影响对其求导考察单调性，只不过求出来的单调区间可能含有参数，需要分类讨论而已。

首先求导：

令导函数为0，可以求出单调区间的分割点：

极大值、极小值分别为

函数如果有三个零点，就必须保证极大值在x轴上方，极小值在x轴下方，如下图所示：

所以，必须：

同理，必须：

这种解题的思路和不含参函数的解题思路是一致的，最后根据题设的要求，求解出参数必须满足的区间即可。

如果你喜欢粗暴一点，也可以直接解决目标问题：既然是求解参数a的取值范围，不如直接找到a的表达式，然后观察表达式是否能达到题目要求就可以了。

比如题目告诉我们，函数有三个零点，意味着让函数值等于0的方程一定会有三个解。

我们首先把题目变形：

要想写出a的表达式，必须把系数x除过去才行。

因为当x=0时，g(0)=0-0+2=2。

也就是告诉我们，x=0不是这个函数的一个零点，换句话说，函数存在三个零点的情况下，x都是不为0的，所以，在有三个零点这种情况下，将x作为分母除过去，等式依旧是存在的。

只不过在以后对下式的讨论中，x都是不能等于0的。

上式告诉我们的信息是这样的：

原方程有三个解，也就意味着上式右侧的函数曲线，和左侧的常数直线a必须存在三个交点。

现在剩下的任务就是研究右侧函数的单调区间和大致走向，可以先求导，观察单调区间：

当x=1时，导函数值为0，也就是说，在1的左侧，函数是递减的，1的右侧是递增的，函数的极小值等于3，在x=1处取得，如果你不信的话，请看：

但此处，我们千万不要忘了还有另外一个区间需要研究，也就是x<0的情况。

刚才研究的只是0和1之间，1到正无穷两个区间内的函数图像的走势，由于我们限定了x是不为0的，所以我们现在也要把在y轴左侧的函数图像的走势补足：

很明显：

所以，这个新函数的走势大致是这样的：

你的草图当然不会这么精确，但走势肯定也是这样的。

此时，你如果能画出一条和这个图像有三个交点的直线，就万事大吉了：

很明显，a>3就可以。

两种方法采用哪一种方法都是可以的。

或者说你喜欢哪一种你就用哪一种方法，前提是尽可能做到既简单，又不容易出错。

比如上面这个例子，分离参数的方法虽然很直接，但也很容易出错，所以在具体的题目中，两种方法都可以快速尝试，哪一种较为简单保险，就采用哪种方法！

总结一句：

零点问题其实就是曲线走势变化中和x轴的交点问题。

如果函数含有参数，可以正常含参讨论，也可以直接参变分离，从而转变为新函数曲线和新直线的交点问题。

感谢您的阅读！

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