椭圆双曲线里共线问题的齐次化解法

    齐次化方法解决共线问题的方法是我做过的比较复杂的工作，为了知识的连贯和完整关系，在这篇文章里，我们仍然从抛物线的例题开始讲起.

2022全国甲 20 设抛物线 的焦点为 点 过 的直线交 于 两点．当直线 垂直于 轴时，

• 求 的方程，
• 设直线 与 的另一个交点分别为 记直线 的倾斜角分别为 当 取得最大值时，求直线 的方程.

解答

• 首先我们不难求出 等等参数关系.
• 设
• 我们知道抛物线上的两点连线可用参数快速写出，有
• 同样的
• 依据 过 点，我们有
• 由于我们有 过 同理得到
• 因此我们不难得到： 这就给出 且 过
• 考虑到 不存在或 时上式给出 只需讨论 的情况
• 此时 等号成立当且仅当
• 这意味着此时 的方程就是

解析    在抛物线中，由于我们可以依据坐标参数快速给出直线方程，而研究抛物线点相关的共线关系无法就是研究参数关系，通过参数关系的转化即可处理复杂的多共线关系.

例1     上有一动点 分别交抛物线于 证明 过定点.

• 设
• 割线方程
• 代入 坐标得到
• 在上式中消去 得到
• 即
• 对比 方程 即知 过

小结    我们不难看到在抛物线内，上述做法有着极佳的便利性，这得益于抛物线的参数关系的简易型，想将该法推广至椭圆则有一定的难度：椭圆的参数方程需要复杂的三角恒等变形化简，且不便于处理多三角恒等关系，下面我们将用齐次化来解决这个问题.

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例2 椭圆 上有四点 其中 过 均过

• 证明 过定点，
• 当 倾角 和 倾角 的差 最大时，求直线 的方程.

解答

• 
  
• 以左顶点 为齐次化原点，设直线
• 齐次化联立椭圆
• 得到
• 也即斜率方程
• 不难得到
• 若代入直线 考虑 过 我们得到 也就是说 其中 是 的简写，下同，
• 同理我们得到
• 这些结论给出
• 研究直线 这意味着直线若写成 的形式有
• 得到 这说明 过定点

• 详细解答在【圆锥曲线】典例分析之斜率问题——拒绝重复运算_哔哩哔哩_bilibili  中给出，这里不再赘述.

• 要像抛物线中一样得到 和 的关系，直接用上面几个乘积关系是不够的，怎么办呢？
• 考虑
• 我们依据乘积关系给出
• 考虑到对比 不难得到 同理
• 因此，最后我们给出
• 后面的过程与上述抛物线中相似，略去.

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本质探究

    我们不难看到上述做法中所用的 与第一道题中的 非常相似，为什么呢？

    考虑把 的视为一个坐标：

    在上述例子中，椭圆方程曾被改写为

    如果我们在这里就去斜率化，也就得到

    考虑这样的一个变量替换：

    我们不难得到上述方程实际上就化简为

    如果把 看成新的坐标系，我们在此给出结论：

    分式线性变换给出仿射变换，而非退化的射影变换是不改变共线关系的.

    在新坐标系下我们可以完全给出这几何关系和坐标：

    在 上有四个点 它们满足 过 而 均过

    这样，至少在共线意义上，我们就把两个问题完全等价，至于两题中的斜率比例关系的研究，则留给读者去验证.

    在这里， 事实上就是原坐标系里的斜率，因此，我们断言：齐次化联立研究的是某个射影坐标系下的坐标关系.

    这里的解释作为对原视频的改善和补充，读者可以结合该视频一起食用 【圆锥曲线】齐次化联立的本质——仿射变化下的坐标——从椭圆到抛物线_哔哩哔哩_bilibili

    在该视频也给出了另一个例题：

例3    动直线 于 交于 两点， 直线 分别于椭圆交于 证明 过定点.

    仍然如前例，我们设直线 齐次化联立椭圆得到

    在这里，为了方便我们后续代入坐标和描述，我们可以直接改写直线方程为 以方便代入坐标得到斜率关系关系.

    由于上面所说的仿射观点，我们由此启发得到下面的想法：

    如果以椭圆上一点作齐次化联立，那么直线 斜率为 直线 和 过 三件事分别给出 的三个关系，这里的关系就类似于 例1 中的关系，虽然不如前一道题乘积为定值那么简洁，但我们仍然可以通过齐次化联立研究仿射抛物线的坐标也就是 的三条关系，去代入计算得到 的等量关系，最后对比得到 过的定点.

    当然，本题由于 有可能过 因此需要特殊讨论这种情况，但这种情况通过极限分析法并不困难.

    由于视频给出了解答，这里也不再赘述，这道题供大家练习后对照参考.

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    对一些极点极线问题的解释：

    极点极线研究的是特殊的共线问题，那么理所当然的可以用上面的观点去处理. 不过，对于最一般的极点极线结论，不应该使用该方法证明. 这是因为该方法仍然是基于计算的，对最一般的极点极线结论处理时需含未知参数进行计算，会导致计算复杂，但对2020新高考一卷、2023新高考二卷这样的题目解释起来仍然是简单的.

2020全国一 20   左右顶点 在动直线 上， 分别交 于 证明 过定点.

    对于这道题，我们研究的对象是

    而 均过一个点 尽管我们只知道 横坐标确定，但 的等量关系和 的等量关系中消去纵坐标，给出的就是 的等量关系，而 本身都是定值，自然而然剩下 的等量关系.

    不过，需要特别说明：在此题中如果选取左顶点或右顶点为斜率原点的话，显然有一者退化. 例如选取 为斜率原点，那么应有 成立，这就使得我们不便于直接去书写 这一变量. 当然，我们也是有方法避免的.

    仍然如前文给出

过点 联立给出 而 也过点 说明

    由于 天然成立，因此上述条件化简得

    研究直线

    这就给出 过

    当然，这种解法略显生硬，实际上我们可以利用点差法、坐标关系去做斜率转化得到 ，但这个方法无疑是强大的，在不使用点差法等等结论的情况下直接用统一的计算方法给出了相同的结论.

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练习1 已知

    若过 的直线交 于 过 的直线交 于 证明：若 三点共线，那么 也三点共线.

    本题解答在 【圆锥曲线系列】还能这样解题？神仙做法仿射解决椭圆的三点共线问题_哔哩哔哩_bilibili 给出，注意：视频中的写法并不能完全照抄成答题卡写法，因为化简的时候有 这个表达式，需验证分母不为 . 当然，解决方法很简单：答题卡上不写这个代换过程，直接给出 关系即可.

    本题在解答的时候没有选择左右顶点为斜率原点，破坏了对称性但减少了对特殊情况的讨论，建议读者尝试一下左右顶点和上下顶点两种不同的写法.

练习2   是 上一点，直线 分别交 于另一点 证明 过定点.

    这是我一道早期的原创题，这也是极点极线的模板题，读者可以自行尝试这种写法. 相比全国卷的极点极线题，本题的难点在于无法运用简单的点差法等关系做斜率转化，但本写法仍是机械的. 当然，曲线系解法相比更加简单.

练习3 2023新高考二卷   是 的左右顶点，过 的直线与双曲线交于 两点，若 与 交于 证明 在定直线上.