学霸数学,让你更优秀! 在△ABC中,D为直线AC上一动点,连接BD,将BD绕点B逆时针旋转90°得到BE,连接DE与AB相交于点F (1) 如图1,若D为AC的中点,∠BAC=90°,AC=4,BD=,连接AE,求线段AE的长; (2) 如图2,G是线段BA延长线上一点,D在线段AC上,连接DG、EC,若∠BAC<90°,EC⊥BG,∠ADE=∠DBC,∠DBC+∠G=∠EBF,证明: BC=2AD+DC (3) 如图3,若△ABC为等边三角形,AB=6,点M为线段AC上一点,且2CM=AM,点P是直线BC上的动点,连接EP、MP,EM,请直接写出当EP+MP最小时EPM的面积. 解:(1)过点E作EG⊥AB于点G,由∠ABD+∠ABE=90°,∠ABD+∠ADB=90°,得∠ABE=∠ADB,而BD=BE,∠EGB=∠BAD=90°得△ABD≌△GEB,故BG=AD=2,而EG=AB=5,得AG=3,故AE= (2) 第一步:过点B作BH⊥BC且BH=BC,连接HE、HA,由∠CBH=∠DBE=90°,得∠HBE=∠CBD,而BD=BE,得△BEH≌△BDC;同时∠ADE=∠DBC,而∠ADE+∠BDE=∠DBC+∠BCD,故∠BCD=45°,于是H在CA的延长线上; 第二步:∠DBC+∠G=∠EBF,而∠DBC=∠HBE,∠EBF=∠HBE+∠EBA,于是得∠ABH=∠G; 第三步:BG⊥EC,∠ABD+∠ABE=90°,而∠ABE+∠BEC=90°,故∠BEC=∠GBD;而∠ABH+∠ABC=90°,∠BCE+∠ABC=90°,故∠BCE=∠ABH,于是∠BCE=∠G,又BE=BD,故△BCE≌△DGB,故DG=BC; 而BC=BH,得BH=DG,得△ADG≌△AHB,于是AD=AH,即有DH=2AD,于是BC=2AD+DC 点评:这可能是很多同学见过的最复杂的线段和差关系的证明了,从条件再到辅助线,再到证明过程的书写,确实有相当大的难度; (3)以BC为边作正△BCH,同时取点M关于BC的对称点M′,连接PM′,PM=PM′,PE+PM=PE+PM′; 作BQ⊥BA且BQ=BA,易知△BQE≌△BAD,∠Q=∠BAD=60°,由瓜豆原理知点E在直线QE上运动,当M′E⊥QE时,PE+PM取最小值,此时 点评:此题不仅考查了对称,还有瓜豆原理,结合了两者出题,确实对学生是巨大的考验. 经过了不断的积累和沉淀,不断对中考数学题型的研究与总结,《中考压轴专题》隆重推出,帮助同学们提升实力.本书包含6个大专题,每个专题下包含多个考点和题型,力求覆盖所有压轴题型.题目取自中考真题、平时模拟真题中的压轴题、经典题,可帮助同学们精准训练,提升解题能力. |
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