【原】【超级方法】二次函数与二次方程根的分布

一、根的分布

所谓一元二次方程根的分布问题，实质就是其相应二次函数的零点(图象与z轴的交点)问题因此，一元二次方程的实根分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的

二、区间根定理

对于一个图象连续不断的函数，如果有f(a)·f(b)<0,则至少存在一个α<x<b,使得f(x)=0

此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的范围时会发挥巨大的威力

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正向判断问题

已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax²+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax²+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）

     A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4

对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x²﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），关于x的方程x²+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x₃，x₄（x₃＜x₄），则下列关系式一定正确的是（　　）

这类题目在处理的过程中可以借助图像本身的平移特征进行数形结合。

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逆向求参问题

已知关于x的方程x²+（m﹣5）x+m﹣2＝0有实根，求实数m的取值范围，使方程的两根分别有以下情况：

（1）两根都小于﹣2；

（2）一根大于2，另一根小于2；

 （3）一根在区间（﹣2，0）内，另一根在区间（2，4）内．

当逆向求参的时候需要注意运用堪根的方法，在线段两端进行比较大小，满足交点的情况下进行比较大小。

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拓展：与线段或直线交点个数

新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x²﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　）

在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²﹣2mx+3（m≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于另一点B，点M（m+2，3），N（0，m+3），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）

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