微分 - 柯西中值定理

1 柯西中值定理

如果函数 和 满足以下 个条件 :

1. 在闭区间 上连续 ;
2. 在开区间 上可导 ;
3. 当 时 , ;

那么在开区间 内至少有一点 , 使

证明 :

首先已知函数 满足以下2个条件 :

1. 在闭区间 上连续 ;
2. 在开区间 上可导 ;

由拉格朗日中值定理可知 , 函数 在开区间 内至少有一点 , 使

即

由于当 时 , ,

可得

由

初等函数的四则运算的连续性 :

如果 函数 和  在 处连续 , 则以下情况 :

都在 处连续 .

可假设在区间 上连续的辅助函数 为

由

定理

如果 函数 和 的 导函数 和 在定义域内均存在 , 则它们的四则运算(和差积商)的导数也都存在 .

可知函数 在区间 内可导 , 即

然后计算

由上可知函数 满足以下 个条件 :

1. 在闭区间 上连续 ;
2. 在开区间 上可导 ;
3. 区间端点的函数值相等, 即 .

由罗尔中值定理可得 , 在开区间 内至少有一点 , 使得

则

则

且 , 可得

1.1 柯西中值定理的意义

1. 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 , 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例 , 即拉格朗日中值定理是 时的特殊情况 ;
2. 如果函数 和 的图像在区间上是连续和光滑的 , 则以它们为参数方程组的图像上至少有一点处的切线与两个端点的连线平行 ;