构建热力学系统在热平衡状态下粒子的分布函数是平衡态统计物理学的首要任务。 在理想气体的压强一文中，我们首次接触到统计物理学的基本思想：压强和温度这两个宏观物理量是气体粒子运动能量这个微观物理量的统计平均。在接下来的讨论中，我们将进一步深化统计平均这个思想。在推导理想气体的压强时，我们曾经将气体粒子按速度分成有限的若干类，每一类粒子的速度都有一个确定的取值和方向，并有一个相应的粒子数密度。这其实已经接触到分布的概念了，我们把上面的情况称为：粒子的数密度按粒子速度的分布。分布这个概念是概率论中一个特有的名字，通俗地讲就是，粒子的数密度是粒子速度的一个函数。只不过，之前讨论的这个函数的自变量并不是连续变化的，而是只取若干个分立的值。我们知道，当系统处于热平衡状态时，微观粒子的运动是无序的和随机的。由于这种随机性，粒子运动速度的数值和方向是连续变化的。因此，在粒子数密度按速度分布的函数关系中，速度作为一个自变量，其数值和方向应该是连续取值的，粒子数密度作为速度的函数也应该是连续函数。有了这个函数关系，就可以通过计算微观物理量的统计平均求出相应的宏观物理量。由此看来，平衡态统计物理学的第一个重要任务就是，解决在热平衡状态下系统的粒子数密度如何按速度分布以及如何描写这种分布。解决问题的方法是，通过实验测定和分析在各种速度下的粒子数，并计算它们占总粒子数的比例。设想有一团气体，我们想要知道粒子数是如何按速度分布的。为了使问题更易于理解，我们先忽略速度的方向，仅考虑粒子数如何按速率分布。以速率为横坐标建立平面直角坐标系，纵坐标的物理意义后面再做说明。为了使实验能够有效地实施，将速率从零到无穷划分成一个一个小区间： 通过实验测定速率处于第 个速率区间 内的粒子的数目 。以 为高， 为底在速率区间 上作矩形。现在我们明白纵坐标的物理意义了，它代表速率处于一个单位速率区间内的粒子的数目。通过实验测定每一个速率区间内的粒子的数目，在坐标系上画出一系列由矩形连成的直方图。将所有矩形的上底连接成直方图的轮廓，就构成了粒子数按速率区间分布的函数曲线。
有了粒子数按速率区间分布的直方图，就可以计算一团气体内气体粒子的总数：在上述实验中，速率区间的间隔 是可大可小的。如果间隔比较大，就相当于对粒子只做了比较粗略的速率分类，得到的粒子数按速率分布的函数曲线就显得很不连续。如果要对粒子数按速率的分布做更细致的描写，速率区间的间隔就要设置得很小。在这种情况下，得到的曲线图由密密麻麻的不连续的短横线连接成，看上去就显得比间隔较大时的情况更具有连续性。显然，如果让所有速率间隔趋向无穷小：，直方图的轮廓就变成了一条光滑的连续曲线，上述概率的增量就变成概率的微分，而对速率区间求和则变成对速率微分求积分：.公式中分母上的积分是对速率的全部可能的范围积分，其结果是一个常量，可以将它结合到 中，引入一个新的函数称之为粒子数按速率分布的分布函数，于是，概率的微分就可以写成由这个公式可以明确地看出分布函数的物理意义：粒子的速率在 区间内的概率 正比于区间的宽度 ，而分布函数 则代表粒子的速率在 邻近单位速率区间内取值的概率。在概率论中，有一个专门的术语称呼这个分布函数，称 是粒子的速率取 值的概率密度。有了速率分布函数，就可以计算速率处于任意有限速率范围内的粒子的数目：从概率的意义上看，粒子取一切可能的速率值的概率必定等于 1。这意味着称之为归一化条件，是概率密度或分布函数必须满足的规则，从分布函数的定义式也可以看出这条规则。
|
