旋转与全等【半角旋转】

常见的半角旋转有正方形顶角含45°角，120°角含60°角。

1.在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足

∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H.求证：

          

          

          

                   

(1)BE+DF=EF；

(2)；

(3)AH=AB；

(4)=2AB；

(5);

(6)△DNF∽△ANM∽△AEF∽△BEM；

(7)△ANM∽△AEF,相似比为1：

(8)；

(9)△AEN为等腰直角三角形    

          

2.△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且

∠BDC=120° ，M、N是AB、AC上的点，∠MDN=60°,则△AMN的周长为         .

3.四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，点E、F是BC、CD上的点，∠EAF=60°，BE=2，EF=5，则DF=           .

          

4.如图，AB=AD，BC∥AD,∠BAD=∠D=120°，∠EAF=60°，△CEF的周长15，求四边形ABCD的周长          .

   

          

          

5.正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接EQ，若AB=，DF-BE=2,则△AEF面积为           .

6.在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，BC=CD=6，点E在线段CD上，∠ABE=45°，AE=5，则CE=           .

7.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=5,CD=6，对角线BD平分∠ABC，∠ABD=45°，则BC的长为_________

   

         

8.如图，在Rt△ABC 中，AB＝BC，∠B＝90°，∠DCB＝90°，CD＝，若∠DAE＝45°，GD 为∠EDC 的角平分线，连接CG，AB＝8，则EG 的长为_____

          

          

          

          

               

9.在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DB平分∠ADC,

(1)如图①，求证AB=AC;

(2)在射线AD上取一点E，连接EB，作∠EBF=∠ABC，BF交射线DC于点F，连接EF，如图②，当点E在线段AD上时，求证AE+CF=EF;

(3)如图③,在（2）的条件下，当点E在AD的延长线上时，且CD=ED=5，连接AC，若sin∠BAC=，tan∠DBC=，求CF的长度。

          

         

          

          

          

       

10.抛物线交y轴于点C,交x轴于A、B两点，且△AOC的面积是，

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，点K为直线AC上一点，过点K作y轴平行线交抛物线于点D,连接BK、AD交于点M，若时，求点D的坐标。

（3）在（2）的条件下，连接BD,点P为第一象限抛物线上一点，过点P作BD的垂线交x轴于点F,垂足为R，连接RO、RA,点E为x轴上一点，连接PE,点G为FP延长线上一点，连接OG,OG=EP，∠FEP+∠G=45°，EF=15，点Q在抛物线上，连接BQ,∠RBQ=2∠ORA,求点Q的坐标。

          

          

              

                 

答案

2.6

          

3.DF=3  

4.四边形ABCD的周长为25

延长CD至T，使得DT=BE，△ABE≌△ADE,△AEF≌△ATF,

∵△AEF周长=15，∴CE+CT=15,

BC+CD=15,2X=15-4X,X=

          

5.△AEF面积为60

BD=24,△QBE为RT△，设BE=x，则DF=BQ=x+2，

EF=QE=22-2x,△BQE中勾股，x=6，EF=10,AH=12,

=60

 

6.2或3

作BF⊥DA延长线于点F，截FG=EC，

△BCE≌△BFG，△BEA≌BGA，

设CE=FG=x，AF=5-X,AD=x+1,DE=6-x，

△ADE勾股，x=2或3

               

7.2或3

          

8.

CB延长线上截取BQ，使得BQ=HD，过点A作AH⊥CD延长线于点H,△ABQ≌△AHD，△AQE≌△ADE，CD=HD=4，设BE=x，则QE=DE=x+4，EC=8-x，RT△EDC勾股，x=，    

∵DH平分∠EDC，∴=,HC=2,∠HDC=∠ADF，

∠ADG=90°，AG=,AE=,EG=

          

9.(3)

          

          

          

          

          

          

          

          

          

10.(1)

(2)∵

∴    

，m=8，D（8,11）

          

(3)过点G作GT⊥y轴于点T，过点P作PL垂直x轴于点L，∵B(-3,0),D(8,11) ,∴∠DBA=45°，∵PR⊥BD

∴∠GFB=∠OMF=∠GMT=∠TGM=45°

设∠GOT=α，∠OGF=45°-α，

已知∠FEP+∠G=45°，得∠PEF=α，

△EPL≌△OGT，设GT=PL=LF=n，

EL=15-n=TO，NO=15-2n=OF,OL=15-3n，

P(15-3n,n)带入抛物线解析式，P（6,3）

F(9,0)，旋转△BRO到△FRW,△ORA≌△WRA,

AW=5,WF=3,∠ORA=45°，已知∠RBQ=2∠ORA

∴∠RBQ=90°，∠OBQ=45°，  Q(2,-5)