新高考数学遇到难题时思考路径与逻辑方法

    新高考的命题人，大部分是一些大学教授和专家学者。因此他们所出的命题属于“顶层设计”范畴，对于高中生来讲就是一个“降维打击”。

    举个例子来讲，对于“鸡兔同笼”问题，利用初中方程的思想（直译法），解答简单明了。若没有接触过方程，则一般需要分组法（没看错就是高中排列组合思想），分组法下又产生了两种方法①最小组数法（设倍数的最小单位）②最大组数法（假设分别全是兔、鸡）。

    此外，他们掌握着历年高考考察的相关具体的知识点，并有各个组合知识点（考点）得分率的详细信息，用以作为“难点轮番考”的理论依据。纵观历年高考数学试题，可以看到全国甲、乙卷与新高考I卷、II卷、甚至是北京、上海卷之间，考点90%相似度的题目要么隔几年考，要么不同卷之间穿插考。

    接下来我们延续上篇提出的高考命题“逆向工程”，看一下命题考察的本质。下面以泊松分布为例，我们推导一下这个命题过程

    泊松分布：如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立实验（足够大的样本），恰好发生了k次（特别注意与二项分布和几何分布表述的差异），则事件A发生k次的概率。其公式如下：

    这个公式是怎样经过严格的推理过程推导出来的呢？首先看定义，对于n重独立实验，且结果只有发生和不发生两种情况，那么这个过程是不是符合n重伯努利试验。即满足：P(x=k)=C(k,n)*[p^k]*[(1-p)^(n-k)]

   ①此时,C(k,n)展开n！/k！(n-k)!=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!，C（k，n）可以看过是一个关于n和k的函数。

   ②对于[p^k]*[(1-p)^(n-k)]，对比泊松分布的公式，令λ=np，p=λ/n，引入参数则转化成[λ^k/n^k]*(1-λ/n)^(n-k)。

   P(x=k)转化为[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/n^k]*λ^k*[(1-λ/n)^(n-k)]/k!

   观察这个式子令f（k，n）=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/n^k]，要化简，n^k是k个n相乘，将其平均分配到分子中[n/n*(n-1)/n....*(n-k+1)/n。转化为1*（1-1/n）*(1-2/n)...*(1-(k-1)/n。当n->∞时，f（k，n）->1。

   再看λ^k*[(1-λ/n)^(n-k)]/k!，展开λ^k*[(1-λ/n)^n]*[（1-λ/n）^-k)]/k!，观察发现[（1-λ/n）^-k)]，在n->∞时，极限为1。即只需考虑λ^k*[(1-λ/n)^n]/k!= λ^k e^-λ/k!

   即只需证明当n->∞时，(1-λ/n)^n= e^-λ。这也是一个相对的难点。

   统一变量进行构造（联想一下圆锥曲线多变量的处理方法），(1-λ/n)^n可以转化为{[1+1/(-n/λ)]^ (-n/λ)}^-λ，即构造 (1+1/x)^x的形式（为什么要构造这种形式呢？这就是降维打击的重要典型实例）。

  令f(x)= (1+1/x)^x=e^xln(1+1/x)，再次统一变量，转换为e^ln（1+1/x）/(1/x)，令g(x)=ln(1+x)/x，我们通过求导（也可以用洛必达法则），ln(x+1)/x近似为1。故得证。

    总结一下，这是典型的概率与导数结合问题。也是本公众号一再强调的为什么要对课本上的例题、定理、公式等自行推导一遍的原因。高考命题不就是这样的过程吗。

    新高考题量减少，增加了思考的时间，领悟和学会思考过程，是打赢高考之战的秘密武器。高考加油！