实变函数与泛函分析期末试题回忆前面大概十来个判断题,然后是解答题若干(暂时就不写解答啦,题目比较简单,留给读者自行思考)
还考了一个勒贝格控制收敛定理
(提示: 被积函数几乎处处收敛) 证明: 令 ,则除去 (是一个零测度集合) 外, 在 上处处收敛于零,从而 在 上几乎处处收敛于零。又因为 a. e. 于 ,故由控制收敛定理可得 。
证明:因为 完备,所以只需证 是闭子空间. 为此,设 中函数列 按照范数收敛于 . 来证 . 有以下两种证法: 证法 1: 因为连续函数空间中按照范数收敛等价于一致收敛,且显然函数列 一致收敛于 ,注意到对一切 成立 ,于 是有 于是有 . 证法 2: 注意到对一切 成立 ,于是有 从而有 ,进而有 .
则 为压缩映像的充要条件是 .
在 中有唯一解,其中 表示恒等算子.
证明: (必要性) 设 ,即 ,则对任意 , 于是 。 (充分性) 设对任意 ,有 并且 。 来证 ,即 。事实上, 于是,可断定 。
(1) 证明 是有界算子,且 ; (2) 求 的 Hilbert 共轭算子 。 证明: (1) 显然是线性算子。 ,则 从而, 有界,并且 。另一方面,对每一个自然数 ,取 (第 项 为 1,其余各项为 0 的数列),则 ,且 ,于是又有 ,由 的任意性得到 ,因此 。 (2) ,有 其中, 。类似 (1) 中方法易证 ,因此 。 |
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