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参考书目 [1]夏道行等.实变函数论与泛函分析(下册·第二版修订本).北京:高等教育出版社,2010 定义1 设是两个赋范线性空间,再设为线性算子, .若逆算子存在且,以及是有界线性算子,则称是正则算子. 设是线性算子, ,且存在,则 其中分别是子空间上的恒等算子.反之,若有到的线性算子,使得则必存在且.引理1 设是两个赋范线性空间,又设,则是正则算子的充要条件是存在适合. 推论 设是两个赋范线性空间,又设是正则的,则也是正则的,且. 定理1 设都是赋范线性空间,若是正则算子,且也是正则算子,则是到上的正则算子,且. 例1 设是定义在中的积分算子: 而是中具有连续导函数,且的函数的全体,它按中的范数成为赋范线性空间.这时是由Banach空间到上的一对一的有界线性算子.但,进而不是有界算子.定理2(Banach) 设都是Banach空间, 是到上的有界线性算子且实现了到上的一一对应,则逆算子必有界. 引理2 设是Banach空间到Banach空间的有界线性算子,且.则对任何一个,必有,使得在中稠密. 引理3 设是Banach空间到Banach空间的有界线性算子,且.则必存在,使得. 定理3(开映射原理) 设是Banach空间到Banach空间的有界线性算子.若,则是开映射. 证明 设是中任一开集,任取中一点, ,只要证明是的内点即可.由于是开集,必有的邻域.任取正数,这时,故 当是一向量, 是一向量集时,记,则.再由引理3得到故是的内点.定义2 设是线性空间,在上装备两个范数.若存在,使得 则称对是连续的,也称弱于,或强于.在中取, .由于 故弱于. 引理4 设是线性空间上的两个范数.下列命题成立. (1) 弱于的充要条件是是赋范线性空间上的连续函数. (2)若弱于,则.且存在,使得任何, ,这里和表示在和上范数. (3)若与等价,则,这里等号是集合论等式.并且存在正数,使得对任何, . 定理4 设是线性空间上两个范数.若按两个范数都成为Banach空间,并且弱于,则必也弱于,从而必等价. 定理5(闭图像定理) 设是两个Banach空间, 是到的闭线性算子,若是中的闭线性子空间,则是连续的. 证明 先说明乘积空间按范数成为Banach空间.而的图像是中的线性子空间.由假设是中的闭集,故按范数成为Banach空间.而作为的闭线性子空间也可以看作Banach空间.作到的算子如下: 这是线性算子且进而是有界的.而,即是到上的算子.注意到是可逆映射,由逆算子定理可知是有界的,即故,这表明是有界的.定理6(共鸣定理) 设是Banach空间, 是赋范线性空间, 是到的一族有界线性算子,若对每个,有 则数集是有界的.定理7 设是Banach空间, 是赋范线性空间, .又设对每个,有收敛,则必存在,使得强收敛于,且 例2 设, 是上可测函数.假设对任何,积分 存在,则,这里(当时, ).证明 作截断函数,和上的线性泛函 由Holder不等式可知是有界泛函,再利用控制收敛定理得到 这里也是有界线性泛函.而后根据,就存在唯一的,使得取就得到了.例3(级数的广义求和问题) 设有数项级数 其部分和是,若有数,就称级数按Cauchy意义可求和.若给定一个无限行,无限行的阵,作 若对每个固定的,上述级数按Cauchy意义收敛,且也收敛,即,就称级数是按阵广义可和,称为广义和.当时,广义和等于Cauchy和.设由阵给出一个广义求和法,若每个按Cauchy意义收敛的级数也是按可求和,且级数的广义和等于Cauchy和,则称这种广义和是正则的.正则的求和阵称为Toeplitz阵. 定理9(Toeplitz) 称为Toeplitz矩阵的充要条件是 (1) . (2) . (3) . 引理5 设是收敛数列全体,按范数 所成的Banach空间.又设是一列数,若对每个,数值 存在,则是上的连续线性泛函,且. |
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