积分 - 无界函数的反常积分

1 函数的有界和无界

定义

设函数 在区间 上有定义 , 如果存在 , 使对区间 内的任意 都有

则称 在区间 上是有界 ; 若不存在这样的 , 则称 在区间 上是无界 .

2 瑕点 (无界间断点)

定义

若函数 在点 的任一邻域内都无界 , 则点 称为函数 的瑕点 , 或者称为无界间断点 .

3 无界函数的反常积分 (瑕积分)

下面以两种图像相似的无界函数 (反比例函数) 为对象讲解瑕积分 .

from sympy import latex, lambdify, exp ,integrate , oo ,sqrtfrom sympy.abc import ximport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as plt from IPython.display import display, Math
def show(left,right): display(Math(left+latex(right)))# 画图工具def draw_invers_prop(a,b,f_x,y_label,int_label,fill_Flag=False):
f_x_func = lambdify(x,f_x) x_l_array = np.linspace(-4,-0.00001,200) x_r_array = np.linspace(0.00001,4,200) f_x_l_array = f_x_func(x_l_array) f_x_r_array = f_x_func(x_r_array)
fig, ax = plt.subplots() ax.plot(x_l_array, f_x_l_array, 'k', linewidth = 1) ax.plot(x_r_array, f_x_r_array, 'k', linewidth = 1) if((a<0) & fill_Flag) : ab_x_array = np.linspace(a,-0.00001,200) ab_y_array = f_x_func(ab_x_array) ax.fill_between(ab_x_array, ab_y_array, 0, color = '#EE9F20') if (int_label) : int_f_x = integrate(f_x, (x, a, 0)) if((b>0) & fill_Flag) : ab_x_array = np.linspace(0.00001,b,200) ab_y_array = f_x_func(ab_x_array) ax.fill_between(ab_x_array, ab_y_array, 0, color = '#EE9F20') if (int_label) : int_f_x = integrate(f_x, (x, 0, b))
if((a<0)&(b>0)& fill_Flag &(int_label!='')) : int_f_x = integrate(f_x, (x, a, b)) if(int_label): show(int_label,int_f_x)
ax.set_xlabel(r'$x$') ax.set_ylabel(y_label) ax.grid('--') ax.set_xlim(-4,4) ax.set_ylim(0,3)

第一种无界函数 (反比例函数)

且 , 可知点 是瑕点 .

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$'int_label=''f_x = sqrt(abs(x))**(-1)draw_invers_prop(-4,4,f_x,y_label,int_label)

第二种无界函数 (反比例函数)

且 , 可知点 是瑕点 .

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{x^2}$'int_label=''f_x = x**(-2)draw_invers_prop(-4,4,f_x,y_label,int_label)

注意 :

• 两种反比例函数在点 的任一邻域内都无界 ;
• 两种反比例函数的曲线都是向 轴靠近 , 但是靠近的速度不一样 , 最终表现为其反常积分的收敛或发散 .

3.1 积分区间为 且 为瑕点的反常积分

定义

设函数 在区间 上连续 , 点 为 的瑕点 , 任取 , 如果存在极限

则称此极限为 在 上的反常积分 , 仍记作

即

该极限存在时称反常积分收敛 ; 若该极限不存在 , 则称反常积分发散 .

示例 3.1.1

已知 是瑕点 , 求第一种无界函数在区间 上的反常积分 :

解 :

由图像可知 在区间  上连续 , 且

其存在原函数为

由微积分基本定理可得

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$'int_label=' \int_{0}^{4}{\\frac{1}{\sqrt{|x|}}}{\\rm d}x ='f_x = sqrt(abs(x))**(-1)draw_invers_prop(0,4,f_x,y_label,int_label,True)

示例 3.1.2

已知 是瑕点 , 求第二种无界函数在区间 上的反常积分 :

解 :

由图像可知 在区间  上连续

其存在原函数为

由微积分基本定理可得

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{x^2}$'int_label=' \int_{0}^{4}{\\frac{1}{x^2}}{\\rm d}x ='f_x = x**(-2)draw_invers_prop(0,4,f_x,y_label,int_label,True)

3.2 积分区间为 且 为瑕点的反常积分

定义

设函数 在区间 上连续 , 点 为 的瑕点 , 任取 , 如果存在极限

则称此极限为 在 上的反常积分 , 仍记作

即

该极限存在时称反常积分收敛 ; 若该极限不存在 , 则称反常积分发散 .

示例 3.2.1

已知 是瑕点 , 求第一种无界函数在区间 上的反常积分 :

解 :

由图像可知 在区间  上连续 , 且

其存在原函数为

由微积分基本定理可得

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$'int_label=' \int_{-4}^{0}{\\frac{1}{\sqrt{|x|}}}{\\rm d}x ='f_x = sqrt(abs(x))**(-1)draw_invers_prop(-4,0,f_x,y_label,int_label,True)

示例 3.2.2

已知 是瑕点 , 求第二种无界函数在区间 上的反常积分 :

解 :

由图像可知 在区间  上连续

其存在原函数为

由微积分基本定理可得

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{x^2}$'int_label=' \int_{-4}^{0}{\\frac{1}{x^2}}{\\rm d}x ='f_x = x**(-2)draw_invers_prop(-4,0,f_x,y_label,int_label,True)

3.3 积分区间为 和 且 为瑕点的反常积分

定义

设函数 在区间 和 上连续 , 点 为 的瑕点 ,  如果存在以下两个反常积分均收敛 :

和

则称这两个反常积分之和为 在 上的反常积分 , 记作

即

若上述之和存在 , 则称反常积分收敛 ; 否则称反常积分发散 .

示例 3.3.1

已知 是瑕点 , 求第一种无界函数在区间 上的反常积分 :

解 :

由定义可知

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$'int_label=' \int_{-4}^{4}{\\frac{1}{\sqrt{|x|}}}{\\rm d}x ='f_x = sqrt(abs(x))**(-1)draw_invers_prop(-4,4,f_x,y_label,int_label,True)

示例 3.3.2

已知 是瑕点 , 求第二种无界函数在区间 上的反常积分 :

解 :

由定义可知

y_label = r'$f(x)=\frac{1}{x^2}$'int_label=' \int_{-4}^{4}{\\frac{1}{x^2}}{\\rm d}x ='f_x = x**(-2)draw_invers_prop(-4,4,f_x,y_label,int_label,True)