【原】​柯西定理

当一个解析函数沿一条闭合路径积分时，如果闭合路径不包围被积函数的任何奇点，则积分等于零；如果闭合路径包围被积函数的奇点，则积分的结果等于绕每一个奇点的积分之和。

我们已经对复变函数的积分下了明确的定义，并给出了一个简单的例子。由于在物理学研究和工程技术应用中遇到的复变函数都是解析函数，因此，让我们对解析函数的积分做更细致的讨论。

考察单连通区域中的解析函数 。如下左图所示，在函数的定义域内有一条任意形状的闭合曲线 ，沿这条曲线对所考察的函数做积分。还是像前面那样，把被积函数和积分变量按实部和虚部分解：

积分结果的实部和虚部的形式让我们想起了实变积分中的格林公式：

其中的 是一条任意形状和大小的闭合曲线， 是以 为边界的一个任意曲面。把格林公式分别用到上面的积分的实部和虚部中，结合柯西—黎曼方程，马上就得到，一个解析函数在它的定义域内沿任意闭合路径积分等于零。这个结论被称为单连通区域的柯西定理。

现在，把上述闭合路径积分中的积分路径折成两段，如上中图所示，从 点开始经由曲线段 积分到 点，再从 点经由 积分回到 点：

另一方面，等式右边第二个积分又可以改写成从 点经由 积分到 点的形式：

根据单连通区域的柯西定理，上述闭合路径的积分等于零。由此可以推断：单连通区域内的解析函数的复变积分与积分路径无关。

当我们利用格林公式导出单连通区域的柯西定理时，已经默认，被积函数在闭合积分路径所围的区域内没有奇点。但是，正如前面说过，即使是一个解析函数，也有可能在所研究的区域内出现奇点。在这种情况下，就不能直接应用格林公式，而是要考虑闭合积分路径是否包围函数的奇点，再对积分进行处理。

如果闭合路径不包围被积函数的任何奇点，那么，单连通区域的柯西定理在这条积分路径上成立，被积函数沿这条闭合路径的积分等于零；如果闭合路径包围被积函数的奇点，就必须用适当的闭合曲线把这些奇点隔离。除掉奇点的区域将形成一个复连通区域。为了能够应用单连通区域的柯西定理，可以用割线将内外边界连接起来，构成单连通区域，如上右图所示。

需要再一次说明，割线是一条线而不是两条线，图中画出的两条线只代表割线的两侧，分别被称为割线的上岸和下岸，它们实际上代表了一条割线的两个走向。一般规定，从外边界进入内边界的走向是上岸，从内边界到外边界的走向是下岸。

将外边界 、各条内边界 和每条割线的上岸 、下岸 连接起来构成一条总的边界 ，就围成了一个单连通区域。根据单连通区域的柯西定理，被积函数沿着闭合路径 的积分等于零。另一方面，我们又可以把 按上述合成要素分解成几个部分，沿 的积分就被分解成几个积分之和：

在上述积分中，围绕每个奇点的积分沿顺时针方向进行，所以在积分曲线的标记符号的右上角有一个负号。正如刚才所说，割线只是一条线。由于我们现在讨论的是单值函数，因此，在某条割线的任意一点处，上岸和下岸的函数值是相等的。但是，当我们沿着上岸和下岸做积分时，积分路径的方向是相反的。因此，单值函数沿某一条割线的上岸和下岸的积分值必定相互抵消。如果把上述积分中沿 的积分改写成沿 积分的负值，就得到了复连通区域的柯西定理：

需要注意的是，在上述积分等式中，所有积分路径的走向都沿逆时针方向。