由式想形，构造相似， 一题多解2023无锡数学中考第25题

当两个变量之积等于一个常量时，即xy=a（x、y是变量，a是常量且）会产生哪些联想呢？

1、从方程的角度：

关于x、y的二元二次方程

2、从函数的角度：

变形为()，y是x的反比例函数

3、从公式的角度：

完全平方公式

完全平方公式

4、从相似的角度：

x×y=m×n（x、y、m、n为相似三角形的四条线段）或者(共边共角型的相似）

本文从相似的角度，由等积式构造出共边共角的相似三角形求出线段长度。

（2023无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．

（1）求∠F 的度数；

（2）若 DE·DC＝8，求⊙O的半径．

（1）分析：待求∠F是等腰三角形的底角求顶角∠FCD，在圆中∠FCD是圆周角求对应的圆心角辅助线连接OD由AB//FD和切线FD可求出结果

解：如图，连接OD

∵FD为⊙O的切线，

∴∠ODF＝90°，

∵DF∥AB，

∴∠AOD＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACD=∠AOD＝45°，

∵CF＝CD，

∴∠F＝=67.5°；

（2）分析：由条件DE·DC＝8x×y=m×n（x、y、m、n为相似三角形的四条线段）或者(共边共角型的相似）

类型1；，连接AD构造共边公角的反“A'字型相似三角形

∵OA＝OD，∠AOD＝90°

∴∠EAD＝45°

∵∠ACD＝45°

∴∠ACD＝∠EAD

∵∠ADE＝∠CDA

∴△DAE∽△DCA

∴=

∴＝DE·DC＝8

∵DA＞0，

∴DA＝2

∴OA＝2,即⊙O的半径为2．

或者连接DB构造共边公角的反“A'字型相似三角形，

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类型2；x×y=m×n （x、y、m、n为相似三角形的四条线段），延长DO交圆O于点F，连接CF

解：易证△DOE△DCFDODF=DCDE

学生做此类题的难点在于如何添加辅助线去构造相似三角形，由于DE、DC在一条直线上，这两条线段不可能在同一个三角形中，所以构造的相似三角形基本上是反“A”字型的相似三角形。