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假设你正面临一个复杂且难以解决的问题，你有能力将这个问题重新表述为一个新的、较容易的问题。这样，你不仅可以解决这个简化后的问题，还可以将其解法转换回原来的复杂问题。这就是拉普拉斯变换的核心。 它实际上是一个捷径，在某些情况下将大学水平的问题转化为高中水平的问题。具体来说，它将微积分转化为代数，将一些非常困难的方程转化为不那么困难的方程。 不那么为人所知的是，拉普拉斯变换在纯数学中也非常有用。 我希望你从文章中记住一个重要观点，
定义、例子和性质 拉普拉斯变换定义如下： 假设有一个变量t的函数f，那么拉普拉斯变换ℒ(f)是另一个变量s的函数F，定义为：
这些变量名称的背后原因是，当以物理学的角度解释拉普拉斯变换时，我们会将一个信号表示为时间的函数，并将其转换为一个表示（复）频率的函数的信号。我们不会讨论这种对应关系的确切含义，但我可以告诉你，它与它的姐妹——傅里叶变换有关。 注意，F不是f的反导函数。积分上限中的无穷大符号应被解释为取极限，即
假设极限存在。 让我们看一个例子。让我们选择最简单的函数之一：f(t) = t。 我们可以使用分部积分得到以下结果：
在此过程中，我们使用了洛必达法则，你只需注意，当f(t) = t时，F(s) = 1/s²。 同理，我们可以更简单地得出结论：当原函数 ()=1时，其拉普拉斯变换 ()等于 1/。 让我们看看在“平行”世界中，在时域内乘以一个指数是什么样子的。
因此，当在时间域中将一个函数乘以一个指数函数时，在拉普拉斯变换后的 域中，这相当于移动（或平移）参数。这种结果虽然看起来简单，但实际上非常强大，并且在相关的文献中被反复使用。 一个重要的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说，有
拉普拉斯变换也可以应用于三角函数。例如，当我们对函数 ()=sin()进行拉普拉斯变换时，我们需要通过分部积分的方法进行多次计算，并最终求解一个方程。经过这些计算之后，我们可以得到一个非常有用的结果：
拉普拉斯变换有一些非常有用且重要的性质。其中，最基本且最重要的性质之一是它是一个线性算子。线性算子的特性意味着拉普拉斯变换满足以下条件：
其中F和G分别是f和g的拉普拉斯变换。 另一个极其重要的性质是拉普拉斯变换是一对一的映射，这意味着它有唯一的逆变换。即，无论我们在一个世界中做什么，在另一个世界中都有平行的动作。
通过拉普拉斯变换证明“世界上最美的方程” 以下被称为数学中最美的结果。这归功于莱昂哈德·欧拉，他向我们展示了指数函数与三角函数的关系：
通常我们证明欧拉公式的方法是通过展开指数函数的无限幂级数，并使用分配律的无限版本。这种方法虽然有效，但涉及到一些复杂的技术性论证。因此，为了简化，许多作者在讲解时会省略这些复杂的步骤。 你可能不知道的是，我们可以使用拉普拉斯变换来证明上述欧拉的结果。
现在我们可以在两边取逆拉普拉斯变换得到
其中我们使用了逆变换的线性性质。将上述公式看作为三角函数的余弦和正弦：
得证。 从微积分到代数再回到微积分 拉普拉斯变换最强大的性质之一是它将导数变为多项式。具体来说，有
即在s域中乘以s对应于时间空间中的微分。还有更高阶的类似公式。例如：
这些公式看起来简单，但它们有能力将微分方程转化为多项式方程，而多项式方程要容易得多。在某些情况下，它们甚至将偏微分方程转化为常微分方程。 例子 假设我们想要解微分方程：
初始条件为f(0) = 0和f '(0) = 0。让我们在两边取拉普拉斯变换
通过代入初始条件并提出F(s)，得到
让我们停下来，注意以下2个重要的点：
现在，只需在两边取逆拉普拉斯变换来找到f。在实践中，我们经常使用部分分式分解，但我们也可以使用一个公式。
虽然拉普拉斯变换在处理微分方程时非常有效，但这只是其应用的一个开始。拉普拉斯变换有许多其他富有成效的应用，但本文不会深入探讨这些内容。 更高级和奇特的用例 在s域中乘以s对应于微分，除以s对应于积分，结果证明是更一般对应关系的特殊例子。 卷积（Convolutions） 在s域中两个函数F和G的乘积定义了时间域中两个函数f和g的一种运算，称为卷积，记作f * g。根据维基百科：
正实数上的积分和狄利克雷积 拉普拉斯变换的一个非常有用的性质如下：
让我们尝试用这个公式来处理一个著名的困难积分，称为狄利克雷积分。这个问题要求计算以下积分：
这个例子在强大积分技术中就像“Hello, World” 一样，是一个简单但能展示其基本原理和功能的经典示例。。我们有：
利用1/(x²+1)的反导数是arctan(x) + c，得到
拉普拉斯级数 我一直期待着与大家分享以下内容。 我们假设所有的一般级数和积分都收敛。 假设有一个周期为P的周期函数f，并且它的傅里叶级数为
那么我们可以通过线性性得到f的拉普拉斯变换的级数：
如果P = 2π，那么上述公式简化为
其中a和b分别是偶数和奇数的傅里叶系数。 我不知道这个公式是否有名称，因为我之前没有见过它，所以我称之为拉普拉斯级数。如果它已经有名称，请告诉我。 让我们尝试将其应用到一个例子中。在区间[0, 2π]内设f(t) = t，然后周期性延拓。该函数的图像如下：
这个函数的傅里叶级数如下：
我们知道，除了在不连续点（即t ∈ 2πℤ处，它正好等于π）之外，该函数与上面定义的锯齿函数相同。 在使用公式之前，我经历了手工计算f的拉普拉斯变换的痛苦过程。通过对积分的无限级数求和，得到
由于f的傅里叶级数仅在测度为0的集合上与f不同，我们知道上述公式正好等于f的拉普拉斯级数。即：
其本质是，即使傅里叶级数在s域中也有一个平行的级数。这意味着每个（相对良好行为的）周期函数在时间域中有一个傅里叶级数表示它，在复频域中有一个拉普拉斯级数表示它。 然而，我们需要稍微小心，因为拉普拉斯变换只变换正实数上的函数。它对负轴上的函数“一无所知”。 这个理论打开了解析数论领域的大门，在这个领域，像左边这个级数是非常重要的研究对象。 |
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