考前技巧速览 • 硬解圆锥10组公式

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1063期

考前技巧速览 · 硬解圆锥10组公式

（注：此表摘自小派之前的推文《851期【圆锥曲线】硬解定理8组公式》）

这一篇从圆锥曲线焦点在  轴、  轴和直线方程分为  型、 型角度，更加详细归纳了圆锥曲线大题联立  种情况，包含了联立后判别式、韦达定理、以及在此基础上常见得拓展模板。公式非常多，不建议背诵，重在理解推理过程。

一、硬解定理背景

圆锥曲线硬解定理，又称  定理（The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem）或  定理（The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem），其是一套求解椭圆、双曲线与直线相交时 ，， 及相交弦长的简便算法，常应用于解析几何．

在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在．但其一般化的推导结果不具有普适性，且一直无法用一个简洁的形式表示．由CGY-EH定理，以直线与椭圆为例推导，重新排列分组形式，并引入 ，从而得出了较为简洁的表示形式．后再由CGY-EH定理的成功引入弦长计算公式，并将适用范围扩大到对  值求解及对  的求解，从而奠定了  定理强大的通用性与普适性．

CGY-EH 定理： 若曲线    与直线      相交于  两点，则：

其中，  ， 

可以看出原定理内容并不适合高考中常见的模型，因此在这一期另外给出一套计算公式，并拓展了硬解定理，给出了  ， ， ，  等公式，这些公式形式都比较简洁，利于记忆 ．在解题过程中我们可以借用一些口诀，快速写出答案，当然一些应该有的过程还是要写出来 ．

二、详细归纳硬解定理10组公式

以下均设圆锥曲线与直线交于 、 两点，

1、椭圆  与直线 

图1

如图1，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

2、椭圆  与直线 

图2

如图2，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

3、双曲线  与直线 

图3

如图3，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

4、双曲线  与直线 

图4

如图4，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

5、双曲线  与直线 

图5

如图5，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

6、双曲线  与直线 

图6

如图6，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

7、抛物线  与直线 

图7

如图7，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

8、抛物线  与直线 

图8

如图8，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

9、抛物线  与直线 

图9

如图9，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

10、抛物线   与直线   

图10

如图10，设 、

联立  得

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）