最值问题

①两点之间，线段最短

②垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）

③三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边）

轴对称最值模型

例1、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（    ）

A．(0，0)           B．(0，1)           C．(0，2)           D．(0，3)

解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，

此时△ABC的周长最小，

∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），

∴B′点坐标为：（−3，0），AE＝4，

则B′E＝4，即B′E＝AE．

∴△B′AE为等腰直角三角形．

∴∠AB′E＝45°．

∴△B′OC′是等腰直角三角形．

∴B′O＝C′O＝3，

∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．

故选：A．

例2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=________．

解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过M作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．

∵AA′⊥a，MN⊥a，

∴AA′∥MN．

又∵AA′＝MN＝4，

∴四边形AA′NM是平行四边形，

∴AM＝A′N．

由于AM＋MN＋NB要最小，且MN固定为4，所以AM＋NB最小．

由两点之间线段最短，可知AM＋NB的最小值为A′B．

例3、已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．

解：作图略，△PMN周长的最小值为4．

折叠之最值模型

特征1：折痕过定点，折叠前后线段相等（线段BA′长度不变，A′的路径为圆弧）

思路：求A′C最小，转化为BA′+A′C最小，利用三角形三边关系求解

特征2：折痕折痕经过两条线的动点，折叠前后线段相等（A′N+NC为定值）

思路：求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值，利用两点之间线段最短求解．

例4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是_____．

例5、 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．

直角之最值模型

特征：直角不变，斜边长不变

思路：取斜边中点，结合斜边中线等于斜边一半，利用三角形三边关系求解

例6、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是________．

思路：求BA′的最小值，利用三角形三边关系求解，BD≥OB－OD．

解决几何最值问题的通常思路：

分析定点、动点，寻找不变特征．

若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．

转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．

例7、 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．

解：∵四边形AFPE是矩形

∴AM＝AP÷2，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短

∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB

∴AP：AC＝AB：BC

∴AP：8＝6：10

∴AP最短时，AP＝4.8

∴当AM最短时，AM＝AP÷2＝2.4

例8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，则在旋转过程中，DG长度的最大值为____________．

例9、如图，在等边△ABC中，D是AC边上一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接ED，若BC=2，则△AED的周长的最小值______．

例10、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH长度的最小值是_______．