【原】2025深圳31校联考数学压轴，以四边形为背景，考查全等与相似，辅助线是核心！

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(2025深圳31校联考数学压轴)在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上

【尝试初探】(1)如图，若平行四边形ABCD是正方形，E为BC的中点，∠AEF=90°，求CF/DF的值；

【深入探究】(2)如图，∠B=45°，∠AEF=90°，AE=EF，求CE/DF的值；

【拓展延伸】(3)如图，BF与DE交于点O，tan∠BOE=tan∠A=4/3,,求CF/DF的值.

解：(1)易知ABE~ECF，得
，设AB=4，则BE=2，CF=1，故

(2)过点A、F分别作AG⊥BC、FN⊥BC于点G、N，易知△AEG≌△EFN,AG=EN=m,GE=FN=n,

而∠ABG=∠FCN=45°,BG=GC=m，连接AC、AF，易知△ACD和△AEF都为等腰直角三角形，

于是AD：AC=AF：AE=
，同时∠EAF=∠CAD=45°,得∠DAF=∠CAE，得△ACE~△ADF，故

(3)设AB=5，则AD=7，作DM⊥BC于点M，作BN⊥DE于点N，则CM=3，DM=4，同时BE：CE=3：4，得BE=3，EM=1，故DE=
，而△BEN~△DEM，得EN=，BN=，得ON=于是OE=，于是OD=
，延长BF交AD延长线于点I，DI：BE=OD：OE=11：6，得DI=

点评：题目第二问以一线三角开始，得全等三角形，通过等腰三角形边之间的比例关系可得相似三角形；

而压轴一问则以相似辅助线为核心考点，构造方式是通过等角和平行线，对学生考验较大.

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