【原】用级数求解常微分方程

讨论用级数求解常微分方程的理论原则。

我们已经详细讨论过如何确定一个常微分方程的奇点的方法。前面曾经讲过，一个常微分方程的奇点的个数往往是有限的，因此，只要将一个常微分方程的全部奇点找出来，其余的点就是这个常微分方程的常点了。

区分一个常微分方程的常点和奇点很重要。除了一些特殊的常微分方程有简单的解析解外，科学研究中遇到的常微分方程一般都没有或者很难求出它的解析解。求解常微分方程最简单也是最常用的方法是将方程的解展开成幂级数。一个常微分方程在这个幂级数的展开点上的奇异性对解的性质，以及求解的方法有重要影响。由于这个原因，要在某一点的邻域将一个常微分方程的解展开成幂级数，首先要搞清楚该方程在这个点处的奇异性，具体的做法当然就是先找出这个常微分方程的全部奇点。

既然已经学会了判断一个常微分方程的奇点的方法，就让我们开始讨论求解常微分方程的理论问题吧。

还是讨论最基本的二阶线性齐次常微分方程，将其写成标准形式：大家知道，要完全确定一个二阶常微分方程的解，需要有两个已知条件，它们是这个常微分方程的解以及解的一阶导数在某点  处的值：这两个值被称为该常微分方程的初值 (有一些教科书也将它们称为边值、边条件或者边界条件等，名称虽然不一样，但是意义相同)，相应地，  就被称为初值点。因此，一个完整的常微分方程求解问题应该包括这两个初值条件： 

  

接下来，让我们先讨论用级数展开的方法求解二阶线性齐次常微分方程的理论原则，具体的求解操作程序留待求解实例的问题中再做细致讨论。

假定一个二阶线性齐次常微分方程的两个系数在圆  内单值解析，则在这个圆内，初值问题 (1) 式有唯一的解，这个解在圆内单值解析。于是，可以把初值点作为展开点，将该常微分方程的解在初值点的这个邻域圆内展开成泰勒级数：

  

在求解常微分方程的过程中，需要知道解的一阶导数和二阶导数：由于方程的两个系数在初值点及其邻域是解析的，因此，也可以将它们在初值点的邻域展开成泰勒级数：另一方面，把初值点代入级数解 (2) 式中，就可以得到：利用初条件就可以求出两个基本系数：至此，求解常微分方程的准备工作基本上完成。

原则上说，在求解常微分方程的过程中，必须将方程的两个系数在初值点的邻域展开成泰勒级数。但是，在许多实际问题中，两个系数可能本身就是简单的多项式，或者只需要实施几个简单的演算步骤就能变成多项式；在一些问题中，两个系数也有可能是由多项式组成的分式，只需要将它们的分母从方程中除去，就能使方程的系数变成多项式。当然，这样做的代价是，二阶导数前面的系数不再等于1，即微分方程不再是标准形式。在这些情况下，就不需要将系数展开成级数这个步骤了。

求解常微分方程的准备工作完成后，把方程的解及其一阶导数和二阶导数的级数表达式、两个系数在初值点的邻域的泰勒级数展开式、以及两个基本系数，代入常微分方程中，就将常微分方程转变成级数方程。整理这个级数方程，就可以得到各个系数之间的递推关系，从而得到唯一的解。

在用级数方法求解常微分方程时，如果要求的展开点是该方程的奇点，则方程的解在这个展开点处一般也是奇异的。在这种情况下，需要先讨论两个系数在这个展开点处的奇异性。对不同的奇异性，求解的方法和程序是不一样的，不是目前可以讨论的问题，留待日后再详述吧。