【原】在原点的邻域求解勒让德方程

讨论在原点的邻域求解勒让德方程的方法。

勒让德方程是在科学研究中经常遇到的常微分方程，许多物理过程满足的微分方程在经过一系列数学变换后都会以勒让德方程的形式出现： 

勒让德方程最基本的一个解是在原点的邻域得到的。由于原点是方程的常点，因此，在原点的邻域，幂级数解必定是泰勒级数： 

对这个级数求一阶导数和二阶导数： 

正如前面所说，对二阶微分方程的标准形式，要将两个系数同时在解的展开点处展开成泰勒级数。不过，如果系数以多项式或有理分式的形式出现，这个步骤就可以省略。以勒让德方程现在这个非标准形式 (1) 式，各个系数(包括二阶导数前的系数)已经是以原点为展开点的多项式型级数。由于这个原因，可以省略系数的展开这一步，直接将解及其导数的展开式代入方程中进行推导。

在进行推导的过程中，注意到在方程中二阶导数项会以  和  两种形式出现，为了使这两项级数最终在形式上一致，其中一项需要用到二阶导数级数的另一种表述方式。为了导出这个新的表述形式，引入一个新的求和指标  ，并注意到，在  级数的原始表达式 (3) 式中，求和指标实际上是从  开始的，就得到  的另一种表述方式：将方程的幂级数解代入原方程中，就得到如下级数方程：请留意：在这个表达式中，与  相关的那两项，它们各自用到哪一个表达式。把上述级数方程稍加整理，就得到以下方程：        如果一个级数方程的左边是一个无穷级数，而右边等于0，那么，方程成立的前提是这个无穷级数的每一个通项都等于0。对幂级数而言，这个条件导致级数的每一个通项的系数等于0。由此可得，上述级数方程若要成立，用大括号括起来的算式必须等于零。这个结论经过整理最终给出了系数之间的递推关系：结果发现，所有系数都可以通过递推关系确定。有了系数之间的这个递推关系，只要给定初条件，就能唯一确定方程的解。