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第九章 因式分解单元教学设计 北京市义务教育课程改革实验教材（2005版）第14册 一、本章主要内容：1。因式分解的概念。2。因式分解的基本方法 二、地位与作用：本章内容是在整式运算的基础上学习的，因式分解与整式乘法为互逆的恒等变形①，与整式乘法运算有着密切的联系。因式分解在今后学习分式化简（约分和通分）、解方程等知识中有广泛的应用。 三、教材编写特点： 1．教材只介绍了最基本的因式分解的方法，即提公因式法和运用公式法，在运用公式法中只涉及了平方差公式、完全平方公式。 2．在教材编写中，努力渗透了类比思想。比如，类比因数分解的概念引出因式分解的概念。 3．教材在概念引出的过程中，通过“想一想”、“议一议”等栏目，给学生留出观察、分析、归纳的空间和时间，以利于培养学生的能力。 4．在方法的得出过程中，也通过“想一想”、“议一议”等栏目，给学生留出观察、思考、讨论的空间和时间，让学生体验转化的数学思想方法，培养学生的能力。 5．本教材把分组分解法、十字相乘法等比较灵活的数学知识设计成“探究与应用”的栏目，供学有余力的学生学习。 6．介绍了利用图形计算器进行因式分解的方法，以提高学生的兴趣，开阔学生的眼界。 四、课程标准的要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 五、考试说明的要求： 六、教学目标： 1．基本要求：（面向每一名学生） （1）了解因式分解的概念 （2）学会用提公因式法、公式法进行因式分解，并能应用因式分解解决一些简单的数学问题，提高运算能力 （3）经历公式的几何背景，体验数形结合的思想、体会转化思想 （4）培养学生严谨、认真的学习态度，增强学习数学的信心（主要针对学困生） 2．略高要求：（面向中等以上的学生） （1）领会乘法公式与因式分解的关系 （2）通过对学生学习方法的指导，提高学生的探究能力与合作精神 （3）练习用换元法进行因式分解 3．较高要求：（针对部分优秀生） （1）了解利用图形计算器进行因式分解 （2）掌握分组分解法、十字相乘法进行因式分解 设计说明： 1．本教学目标是单元教学目标 2．教学目标的设计从学生不同层次水平出发，进行有针对性地设计 3．本教学目标设计属于试验阶段，不妥之处请多指正。 4．分层的界定是个难题。 本人邮箱zc459095@126.c0m 七、课时计划：7课时 八、重点、难点、关键 1．重点：因式分解的提公因式法、运用公式法。 教材只介绍了最基本的因式分解的方法，即提公因式法和运用公式法，在运用公式法中只涉及了平方差公式、完全平方公式。 2．难点：在因式分解中，把比较复杂的符号形式通过变形转化为简单的公式形势。 这是教学参考书中的看法，我认为因式分解的概念是难点。 3．关键：有效练习。 九、教学建议： 1．要注意因式分解与因数分解的类比关系。 2．要注意因式分解与整式乘法的互逆关系。 3．要注意因式分解过程中转化思想的应用。 4．要注意给学生设置问题情景，留出较多的空间和时间，应到学生在观察、试验、分析、归纳、类比的参与过程中，体验和领会蕴涵其中的数学思想方法。 5．在上面的过程中，培养学生学会有条理的思考，组织学生开展交流与讨论。 6．在因式分解的教学过程中，通过因式分解的训练，培养学生言之有理，落笔有据，明白算理，严谨认真的习惯。 7．要避免过于繁琐的计算，避免过分追求题目的数量和难度。 8．从整体和较高层次上把握本章的知识内容，提高学习能力和综合素质。 十、计划研究的几个问题： 1．因式分解与密码设置的关系 2．提高练习效率。练习题采取题组的形式出现。要安排出层次。 3．本章内容看着简单，做起来很难，需要与做哪些准备。 4．本章与第七章《整式的运算》关系密切，而教材没有直接安排，中间插入了《观察、猜想与证明》一章。估计编者是出于整式的运算，有一部分学生需要进一步练习的原因。另外，在学习因式分解的同时可以练习巩固《证明》。在学习第十章《数据的收集与表示》这一章时，进一步巩固练习因式分解。 ①恒等变形：把一个数学式子变成另一个和它恒等的式子,叫做恒等变形。恒等变形常用的办法是通分,去括号,添括号,分解因式,合并同类项或同类根式,有理化分母,应用运算律和已知的恒等式... 恒等变形 恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等． 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式． 如：a＋b＝b＋a；2x＋5x＝7x都是恒等式．而t2＋6＝5t，x＋7＝4都不是恒等式．以前学过的运算律都是恒等式． 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变． 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法． 1．如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的． 如2x2＋3x－4和3x－4＋2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个． 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项)． 2．通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的． 如：如果ax2＋bx＋c＝px2＋qx＋r是恒等式，那么必有：a＝p，b＝q，c＝r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立． x2＋3x＋2＝(x－1)2＋b(x－1)＋c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x＝1，代入①，得 12＋3×1＋2＝(1－1)2＋b(1－1)＋c c＝6 再设x＝2，代入①，由于已得c＝6，故有 22＋3×2＋2＝(2－1)2＋b(2－1)＋6 b＝5 ∴x2＋3x＋2＝(x－1)2＋5(x－1)＋6 解二：将右边展开 x2＋3x＋2＝(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝x2－2x＋1＋bx－b＋c ＝x2＋(b－2)x＋(1－b＋c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b＝5 将b＝5代入③得 1－5＋c＝2 c＝6 ∴x2＋3x＋2＝(x－1)2＋5(x－1)＋6 这个问题为依照x－1的幂展开多项式x2＋3x＋2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值． |
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