三个“二次”的基础——二次方程；三个“二次”的灵魂——二次函数的图象；荣成市第三中学 张红 2011年7月16日 11:02
三个“二次”的基础——二次方程 三个“二次”的灵魂——二次函数的图象 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，他们都是中学数学的重要内容，本身都具有丰富的内涵而且其相互之间又有着密切的联系：简单来说解一元二次方程是三者的基础，能够画出二次函数的图像是解决这三类问题的关键。 首先，我们遇到的是二次函数的图像问题，二次函数图像有三个关键要素：开口方向，顶点坐标（包括对称轴），零点（个数与正负有关）。我们下面要研究的一元二次方程是寻找二次函数图像上的点；解一元二次不等式是截取二次函数图像上的一段，因此研究二次函数画好其图像是我们探索二次问题的关键。 其次，我们来看一看有关解一元二次方程的问题，学生在学习中遇到的最简单的解二次方程问题通常可以用求根公式或是分解因式解决，而在二次方程问题中最难的就是根的分布，我们以下面这一例题为例研究它的解决方法。 例：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 本题的解答步骤是先设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，最后根据图像列出其等价关系式. 我在教学中把它分成两类，一类是两根在同一区间内，需考虑判别式，对称轴的位置，及区间端点的函数值的符号；第二类是不在同一区间内，只需考虑区间端点的函数值的符号即可。用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.特别是学生在解答第二问的时候很容易忽视一两个条件，教学中可以画出不同图像说明三个条件缺一不可。所以在解题中画出符合题目要求的图像是做好本题的关键。 最后，我们研究一下解二次不等式的问题。解一元二次不等式通常有两种解法：一种是代数法，具体步骤是，先把二次项系数化成正数,再解对应的二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(也称为“三步曲”法)，此法主要和二次项系数、二次方程的根以及不等号方向有关；另一种方法是图像法，就是将不等式左侧对应的函数图像画好（包括开口方向和函数的两个零点）然后根据图像直接写出解集。这两种方法我在教学中提倡的是第二种，因为这种解法更为简单和直观。解二次不等式的问题中还有一类是涉及到恒成立的问题是令很多同学头疼的难点，我认为这个问题可以利用三个二次之间的关系结合函数图像解决，即不等式与函数图像在x轴上下方紧密联系在一起。如f(x)>0恒成立等价于函数图像都在x轴上方，反之则在下方。可见函数的图像在解二次不等式问题中占有至关重要的地位。
总之，当我们真正理解了二次函数、二次不等式、二次方程之间的关系后，就会发现三个“二次”间有着密不可分的联系：解二次方程是解决另外两类问题的基础和前提;二次函数的图像是二次函数所有性质的载体，是我们解决二次问题的关键，遇到二次方程根的分布和二次不等式恒成立问题常转化成二次函数的图像去分析、解决问题，这也是数形结合思想方法应用的真正体现。
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