一次函数中的分段函数

一次函数中的分段函数

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不相同，我们这样的函数称为分段函数。学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：⑴要特别注意相应的自变量变化区间。在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线。其中每条线段（射线）代表某一个阶段的情况。⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解。尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义。

 

一、分段计费问题

 

例1. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．

 

 

（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？

 

（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；

 

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？

 

解析：（1）当时，有．将代入，得．∴y=1.5x

 

当x=8时,y=8×1.5＝12（元）．

 

（2）当时，有     将，代入，

 

得． ∴．  故当时，．

 

（3）因，  ∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．

 

设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，

 

则         解之，得

 

故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．

 

二、行程中的分段函数

 

例2。一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．

 

根据图象进行以下探究：

 

 

信息读取

 

（1）甲、乙两地之间的距离为         km；

 

（2）请解释图中点的实际意义；

 

图象理解

 

（3）求慢车和快车的速度；

 

（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

 

问题解决

 

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

 

解析：（1）900；

 

（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．

 

（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，

 

所以慢车的速度为；

 

当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h．

 

（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．

 

设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得

 

     解得

 

所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．

 

自变量的取值范围是．

 

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．

 

把代入，得．

 

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．

 

三、与几何图形有关的分段函数

 

例3。在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点A开始按A —B—C—D的方向运动到D。如图3—1。设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y。（当点P与A或D重合时，y=0）

 

 

⑴写出y与x的函数关系式；

 

⑵画出此函数的图象。

 

解析：⑴P在边AB、BC、CD上所对应的函数关系不相同。应分段求出相应的函数式。

 

①P在边AB上，0≤x＜3时，    y=×4x=2x

 

②P在边BC上，3≤x＜7时，y=×4×3=6

 

③P在边CD上，7≤x≤10时，y=×4（10-x）=-2x+20

 

∴y=

 

⑵函数图象如图3—2。