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| 2012-05-09 天津网-数字报刊 | |||||||||
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高考中解析几何解答题的热点问题——圆锥曲线 高考中常以圆锥曲线为载体，与平面向量、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数形结合的数学思想方法，考查学生的数学思维能力及创新能力。知识交汇处体现在：圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的结合，主要通过坐标结合起来；圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的结合，主要与圆锥曲线切线的斜率相关；解析几何与立体几何、平面几何的结合，体现在空间直角坐标系中运用解析法解题和平面几何相关定理的运用。 热点一 求曲线（轨迹）方程 曲线与方程的关系是解析几何的入门之处，也是解析法的关键，所以是考试重点之一。 例题 已知⊙M：x2+(y-2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点， （Ⅰ）如果|AB|=■，求直线MQ的方程； （Ⅱ）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 解析：（1）两点确定一条直线；（2）利用平面几何知识，找出关系。 略解：（Ⅰ）Q(a，０)由|AB|=■，可得 |MP|=■2=■=■，由射影定理， 得|MB|2=|MP|·|MQ|，得|MQ|=3，故a=■或a=-■， 所以直线MQ方程是 2x+■y-2■=0或2x-■y+2■=0； （Ⅱ）连接MB，MQ，设P(x，y)，Q(a，0)，由点M，P，Q在一直线上，得■=■，(*) 由射影定理得|MB|2=|MP|·|MQ|， 即 ■·■＝1（**） 由（*）及（**）消去a， 并注意到Y<2，可得 x2+(y-■)2=■ (y≠2)。 点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。注意如何设参数，通常找最初引起变化的因素设。 热点二 圆锥曲线的几何性质 由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功，基本功不行就无从谈综合。 热点三 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将直线与圆锥曲线的方程联立转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明。将椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识综合起来考查，在高考中可谓考得淋漓尽致，其本质是对用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想的考查，并体现出运算和推理能力。 热点四 圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合 例题 （2011天津高考）在平面直角坐标系XOY中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2 分别为椭圆■+■=1(a>b>0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆的离心率e； （Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足A■·B■=-2，求点M的轨迹方程. （Ⅰ）解：设F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)。由题意可得|PF2|=|F1F2|，即■=2c整理得2(■)2+■-1=0，■=-1（舍），或■=■，e=■ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a=2c，b=■c，可得椭圆的方程为3x2+4y2=12c2，直线PF2的方程为y=■(x-c) A，B两点的坐标满足方程组 ■，消去y整理得到5x2-8cx=0 解得x1=0，x2=■c，得方程组解为 ■ 设A(■c，■c)，B(0，-■c)，M(x，y)， 则A■=(x-■c，y-■c)，B■(x，y+■c) 由y=■(x-c)得c=x-■y， 于是A■=(■y-■x，■y-■x)，B■(x，■x) 由A■·B■=-2代入化简得到18x2-16■xy-15=0 将y=■代入c=x-■y， 得到c=■>0，所以x>0 因此点M的轨迹方程是18x2-16■xy-15=0（x>0） 点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。 热点五 求范围 范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等。 总之，解析几何在复习知识的同时一定要以数学思想方法贯穿始终，以方法带知识，运用解题策略加深对数形结合思想方法的理解，提升思维能力。 本版公式整理/王翠玮 |
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