椭圆

椭圆

 

二. 本周教学重难点：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程，了解椭圆的初步应用。

 

【典型例题】

[例1] 已知A、B是椭圆上的点，是右焦点且，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程。

解：如图，设为左焦点，连结、，则根据椭圆定义有

  

再设A、B、N三点到左准线距离分别为、、

由梯形中位线定理，有

而已知     ∴

∴ 得离心率

∵ ，

∴

∴ ，则椭圆方程为

 

[例2] 设椭圆的两焦点为、，若在椭圆上存在一点P，使，求椭圆的离心率的取值范围。

解：方法一：如图所示，设、、

则，，

∵      ∴

∴

即

据题意，知P点在椭圆上，但不在x轴上

∴     ∴

于是，即

∴

方法二：设

∵      ∴

又O为的中点     ∴

∴

即     ∴

∵      ∴    ∴

方法三：∵      ∴

∴ P点在以为直径的圆上，又P点在椭圆上

∴ 圆与椭圆有公共点

由图知，

即    ∴

∴

 

[例3] 已知A、B、D三点不在一条直线上，且，，，

，

（1）求E点的轨迹方程；

（2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程。

解：（1）∵     ∴ E为BD中点，设E（x，y），则

∵     ∴ ，即

又 ∵ A、B、D三点不共线    ∴

故E点的轨迹方程为

（2）依题设，直线MN与圆相切，设切点为Q，坐标原点为O，则为直角三角形。

∵      ∴     ∴

根据对称性，不妨设，则直线的方程为

∵ 线段MN的中点到y轴的距离为    ∴ 中点坐标为（）

∴     由

整理后得

∴

∴     又 ∵     ∴

故所求椭圆方程为

 

[例4] 已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE和OF的交点，如图，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

解：按题意有

设

由此有

直线OF的方程为    ①

直线GE的方程为  ②

从①②消去参数，得点P（x，y）坐标满足方程

整理得

当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点

当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值

当时，点P到椭圆两个焦点（0，），（0，）的距离之和为定值。

 

[例5] 如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等。

（1）适当建立坐标系，求曲线DE的方程；

（2）过C点能否作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由，如果能，请求出弦所在直线的方程。

解：（1）取AB的中点O为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，由题意曲线DE为一段椭圆弧，得，  ∴

∴ 曲线DE的方程为

（2）方法一：C点坐标为C（）

设存在直线与曲线ED交于点M（），N（），

∴

∴ ，    ∴

∴ 直线的方程为    即

将直线方程代入曲线DE的方程，得

解得，M（），N（）（M，N在曲线上）

∴ 存在直线，其方程为

方法二：取曲线DE与y轴的交点M（0，）和与x轴的交点N（4，0），显然C（2，）为M，N的中点，所以弦MN即为所求，其所在直线方程为，即

 

[例6] 已知椭圆（）与直线相交于A，B两点，椭圆离心率为。

（1）当椭圆的右准线为时，求AB的长度及AB中点的坐标；

（2）当，并且时，求椭圆长轴长的取值范围。

解：（1）设A（）B（）

由已知得，，解得

∴ 椭圆方程为

由     ∴      ∴ ，

∴

由得AB中点横坐标为，代入直线方程得AB中点的纵坐标为，即AB中点坐标为（）

（2）由

消去y得

∴    即（*）

此时，①

由，得

又     ∴  ②

将①代入②：

由得代入上式

整理得

由已知得    ∴ 满足（*）条件    ∴

 

[例7] 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线与x轴的交点为M，。

（1）求椭圆的方程；

（2）点P在直线上运动，求的最大值。

解：（1）设椭圆方程为

半焦距为，则，

由题意得    ∴      ∴

（2）设P（），，则直线的斜率

则直线的斜率    ∵

∴ 为锐角     ∴

当，即时，取到最大值

此时最大   ∴ 的最大值为

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长到Q   ，使得

，那么动点Q的轨迹是（    ）

    A. 圆    B. 椭圆    C. 双曲线的一支    D. 抛物线

2. 若方程表示准线平行于x轴的椭圆，则m的范围是（    ）

    A.     B. m    C. 且    D. 且

3. 已知，，动点P满足（且为常数），则P点的轨迹是（    ）

A. 以F₁、F₂为焦点的椭圆

B. 线段

C. 不存在

D. 以上情况均有可能

4. 曲线与曲线（）的（    ）

A. 焦点相同

B. 离心率相同

C. 长轴与实轴相等

D. 以上说法都不对

5. 椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则等于（    ）

    A.     B.     C.     D. 4

6. 已知椭圆的面积为。现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 设P（x，y）是曲线上的点，F₁（）、F­₂（4，0），则（    ）

A.                        B.

C.                        D.

  8. 点P（）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

 

二. 解答题：

1. 已知P是椭圆上一点，F（2，0）、A（），求的最小值，并求此时点P的坐标。

2. 在直线：上任取一点M，过M作以、为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此时椭圆方程。

3.（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（）的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆C的方程是。设斜率为的直线，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M。证明当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上。

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. A

解析：由第一定义，得为定值。∵ ，∴ 为定值，即为定值。故选A。

2. D

    解析：由条件得   解之，得  故选D。

3. A

解析：∵

而

∴ 由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆。故选A

4. A

    解析：由题设知曲线为焦点在x轴上的椭圆，其焦距为8，曲线（）为焦点在x轴上的双曲线，，即焦距也为8，故选A。

5. C

解析：设椭圆的右焦点为F₁，左焦点为F₂，过F₁­且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P

设P（），代入，得   ∴ ，

由，得

6. D

解析：由椭圆的定义，得，则，得到

所以，所以选D。

7. C

    解：曲线整理为表示由椭圆的顶点组成的菱形，由数形结合知

8. A

解析：P关于的对称点为

由题意知的方向向量为（2，5）    ∴      ∴

又P在准线上   ∴    ∴    ∴    故选A

 

二.

1. 解：由椭圆方程，可知，

由椭圆定义（是P点到椭圆右准线的距离）

∴ ，故

过点A作AH⊥，垂足为H，则易知AH即为所求

此时，

2. 解：关于直线的对称点为F（），连结交于点M，此点即为所求。

直线的方程为，即

解方程组得

故点M的坐标为（）此时椭圆长轴长

所以，因为，所以，故椭圆方程为

3. 解：（1）设椭圆的标准方程为，

∴ ，即椭圆的方程为

∵ 点（）在椭圆上    ∴

解得或（舍）

由此得，即椭圆的标准方程为

（2）证明：设直线的方程为，与椭圆C的交点A（）、B（）

则有  解之，得

∵     ∴    即

则

∴ AB中点M的坐标为

∴ 线段AB的中点M在过原点的直线上