集合

集合

 

二. 知识讲解：

集合概念是高中数学的基础，因此对集合的考查每年必不可少，本单元作为数学的基本语言和工具，其应用主要涉及以下两个方面：一是集合本身的知识，即集合的有关概念、关系和运算等；二是对集合语言与集合思想的运用。如方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等。

考查集合的难点是集合之间关系的判断及运算，在概念的理解上要注意以下几个方面：

1. 集合元素的三要素：确定性、互异性和无序性

2. 注意的特殊性：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 要注意符号“”和“”的区别

4. 要注意利用集合的图示如数轴、平面直角坐标系下平面区域，文氏图进行分析，这样可以化抽象为具体，同时能充分体现数形结合思想的运用。

 

【典型例题】

[例1] 若集合中有且只有一个元素，求的取值范围。

解：（1）时，方程有一解   ∴ 满足题意

（2）时，方程有且只有一解   ∴    ∴

∴ 的取值集合为

 

[例2] 已知，，判断A与B的关系是什么？

答案：A=B

解：

（1）任取，存在，使得，若，

则

若，则

∴

（2）任取，存在，使得

若

若    ∴

由（1）（2）得A=B  

 

[例3] 已知，，判断A与B的关系是什么？

答案：

解：

证明如下

任取，则存在，使得

若，则

若，则   ∴    （1）

∵ ，但（2）   ∴ 由（1）（2）得

 

[例4] 设，

（1）若，求实数的取值集合；

（2）若，求实数的取值集合。

解：

（1）若

①         ∴

②    ，则   ∴

当时，    当时，

由得，   或

时，    时，（舍去）

故或

（2）若，则，由韦达定理得  

∴     的取值集合为

 

[例5] 已知，，，当时，求的取值范围。

解：∵     ∴

① 当时，   ∵     ∴    ∴ 无解

② 当时，   由得    ∴   

∴

③ 当时，   

由得      ∴

∴    由①②③得：

 

[例6] 设S是两个整数平方和的集合，即，求证：

（1）若，则；

（2）若，，则，为有理数。

解：

（1），设

（2）由（1）知  ∴

   令，得，

 

[例7] 已知全集，A、B是U的子集，，，，求A、B。

解：

∴ ，

 

[例8] 已知集合，，，求。

解：∵    ∴    显然

① 若   则   这时，，

   ∴

② 若，则

这时满足  ∴

 

[例9] 已知，，求实数的取值范围。

解：由，得以下两种情形

①

的解集为，则

解得

② ，这时方程有两个非正根

即有两个负根，则

解得

由①②得的取值范围

 

【模拟试题】

1. 已知集合且，则集合M的元素个数是（    ）

    A. 7    B. 8    C. 9    D. 10

2. 设U是全集，A、B、C是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A.

B.

C.

D.

3. 已知U为全集，集合M、N是U的子集，若，则（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 已知全集U=R，，则有（    ）

    A.     B.     C.     D.

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. C    2. B    3. C    4. D