两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，余弦和正切

两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，余弦和正切

 

二. 重点、难点：

1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数的化简、求值和恒等式的证明。

2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。

 

【典型例题】

[例1]（1）已知，，其中，，求的值；（2）已知都是锐角，且，，求。

解：（1）∵     

∴

∴

∴

（2）∵     ∴

又 ∵    

∴

又 ∵ 在之间，余弦值为的角只有，∴

 

[例2] 已知锐角中，。

（1）求证：；

（2）设，求AB边上的高。

解：（1）证明：∵

∴

∴

（2）∵     

∴ 即

将代入上式并整理得

解得，舍去负值，得

∴

设AB边上的高为CD

则

由AB=3，得  

∴ AB边上的高等于

 

[例3] 已知，求的值。

解：∵     ∴

又 ∵      ∴

∴

∵

∴ 原式

 

[例4] 已知三点A（）、B（）、C（）。若向量

（为常数且），求的最大值、最小值及相应的值。 

解：由已知

移项得

两式平方，整理有

∴

    ∵    

∴ 当时，有最大值

又 ∵ ，故有最小值为，此时

解得或

综上所述，当时，有最大值，当或时，有最小值。

 

[例5] 已知，。

（1）求及；

（2）若的最小值是，求的值。

解：（1）

（∵ ）

（2）

∵      ∴

① 当时，，矛盾

② 当时，，由，得

③ 当，时，，由，得，矛盾。

综上，为所求

 

[例6] 设，，，与的夹角为，与的夹角为₂，，求的值。

解：根据题意，

而    ∴

同理，

，而，

∴

将代入，得

∴

 

[例7] 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中。

（1）将十字形的面积表示为函数；

（2）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）设S为十字形的面积，

则

（2）方法一：

其中

当，即时，S最大

所以当时，S最大，S的最大值为

方法二：因为

所以

令，即

可解得

所以当时，S最大，S的最大值为

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 已知，则的取值范围是（    ）

A.         B.     C.            D.

2. 的值是（    ）

    A.     B.     C.     D. 1

3. 要使有意义，则应有（    ）

A.                        B.     

C. 或       D.

4. 等于（    ）

    A.     B.     C. 1    D.

5. 已知，则等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 在中，若，则是（    ）

A. 直角三角形                   B. 等边三角形

C. 钝角三角形                   D. 等腰直角三角形

7. 已知，当时，可化简为（    ）

A.                 B.         C.               D.

8. 若，则的值是（    ）

A.     B.     C.     D. 1

 

二. 解析题：

1. 已知，。

（1）求的值；

（2）求满足的锐角

2. 如图所示，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？

3. 已知为锐角，且，，试求的值。

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

解析：设，两式相加得

由，得，两式相减，得，由，得    ∴

2. B

解析：原式

         

3. D

解析：

由

4. B

    解析：

5. B

解析：   

∴

∵ 在第一或第三象限，则在第一或第二象限

又 ∵      

∴ 在第二象限，故

6. B

解析：由，得   

又     ∴

∴    ∴

，A=B，同理B=C    ∴ 是等边三角形

7. D

解：

                          

∵     

∴

∴ ，

∴ 原式

8. B

    解析：

 

二.

1. 解析：（1）因为，所以

所以  

由

所以

（2）因为

所以    所以

因为为锐角，所以

2. 解析：如图所示，令，则，则矩形ABCD的面积为

其中“”中等号成立的充要条件是，即

于是时，S为最大

不难得到，这时A、D两点与O的距离都是

3. 解析：由题意知

∵     ∴     ∴ ，

（1）÷（2），，即

又 ∵     ∴

∴    ∴     ∴

∴