一次函数的性质与k、b的关系

田园农家 2013-07-06

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函数的学习，标志着数学思想方法的重大转变——由常量教学到变量教学，而函数的相关知识，更使数学研究的对象，理论，方法都发生了根本的转变，所以中学阶段函数的重要性勿庸置疑，函数教学中数形结合的思考问题方式，在学生现有的认知体系中，想要顺利的学习它，有着相当的难度。一次函数是学生进入初中阶段后学习的第一个具体函数，学会对其性质的研究方法，对后续学习其它函数具有指导意义。下面就一次函数的性质与k、b的关系，谈谈我的具体作法。

一、 一次函数y = kx + b可看作把直线y = kx平移得到的：当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移。

数形结合的研究函数图象与性质一般按如下三步走：画函数图象－由图象观察函数的性质－用数学语言描述这些性质。让学生通过画图，观察，直观地发现结论，这样既能充分调动学生主动学习的积极性，又可以在自己身体力行的实践中，从自己亲身经历的探索思考过程中获得体验。

在本环节中，我让学生在同一平面直角坐标系中画出了 ① y = - 2x ② y = -2x + 3 ③ y = 3x ④ y = 3x + 3的图象，通过图象同学们很容易发现，①与②互相平行，③与④互相平行，①与③交于y轴的同一点上，②与④交于y轴的同一点上。

为什么会这样呢？学生经过讨论交流，发现①与②互相平行，③与④互相平行，这是因为这两组直线的k值相等；①与③交于y轴的同一点上，②与④交于y轴的同一点上。这时它们的k值不等，而b值却相同。那么这是巧合还是具有一般性呢？再举几组类似的例子验证一下，由学生说出k值相等，b值不等的三条直线和b值相等，k值不等的三条直线，通过画图来验证结论的正确性。这时学生的好奇心和学习的主动性被充分调动起来，这样循序渐进，由浅入深，让学生体会到“数与形”是紧密联系的，同时也深切体会到一次函数中，k、b的取值对函数的性质的影响。

对于这一性质的实际运用，我给出了这样两道例题：

（1）把直线y = -2x + 3向下平移4个单位得到直线。

（2）已知直线y = kx + b经过点A（1，3），且平行于直线y = 2x ，求该直线的函数解析式。

分析：因为直线y = kx + b平行于直线y = 2x，所以k = 2，把点A（1，3）代入到y = 2x + b，就可以求出b值，顺利得出直线的函数解析式。

二、 一次函数y = kx + b中，k的取值决定了直线的倾斜方向和函数的增减性。

对于这一性质的得到还是从学生熟悉的一次函数图象入手，然后归纳总结，归纳的重要性不仅在于它可以猜想结论，还可以培养学生的创新思维。

在这一环节中，我布置学生在同一直角坐标系中画出了①y = 2x + 2 ②y = -2x + 3 ③ y = - 3x- 1 ④ y = 3x - 3的图象，进行如下探究：（1）每个图象都经过了哪些象限？由什么因素决定？（2）当一个点在直线上由左向右移动（即自变量x由小变大），它的位置将如何变化？函数值y随x的增大如何变化？

同学们通过动手画图，观察图象，相互交流，纷纷得出了一些直观的结论，为了验证学生的发现，我借助于几何画板，动态演示k值由正数到负数所对应的函数图象，在演示过程中，提醒同学们重视k的取值与对应图象间的关系，多组呈现一次函数的图象，让学生看得清楚，想得明白，理解得深刻，由此发现：

当k＞0时，y随x的增大而增大，图象由左到右上升，此时图象必过一、三象限；

当k＜0时，y随x的增大而减小，图象由左到右下降，此时图象必过二、四象限；

∣k∣决定了图象的倾斜程度：

∣k∣越大，图象与x轴所夹的锐角越大，图象看起来越“陡”； ∣k∣越小，图象与x轴所夹的锐角越小，图象看起来越“缓”。

例题的选择不单是性质的简单运用，更应该体现数学思想方法渗透。在这一环节中，我选择了这样一道例题：点（—2，y₁）（3，y₂）在y = — 2x + 3图象上，试比较y₁，y₂的大小。

很多同学会想到把—2和3分别代入到y = — 2x + 3计算出y₁，y₂的值，然后再比较大小。这时候将这两组点改为（—2/7，y₁）（3/13，y₂）和（x₁，y₁）（x₂，y₂）前者学生也可以计算出来，但会发现计算量比较大，而后者即使添加条件x₁＞ x₂，很多学生仍然比较不出来，这时就要寻找不同于单纯计算的方法，运用函数的增减性，比较大小的方法呼之欲出，即已知自变量的大小，比较函数值的大小，知道它的增减性就可以解决问题。