期末试卷
【模拟试题】 一. 选择题 1、的虚部是( ) A. B. -3 C. -3 D. -4 2. 下列命题错误的是( ) A. 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为:“若方程x2+x-m=0无实数根,则m≤0”。 B. “x =1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件。 C. 若为假命题,则p、q均为假命题。 D. 对于命题p:则 3.的值为( ) A. 1 B. 0 C. D. 4. 在各项均不为零的等差数列中,若,则( ) A. B. 0 C. 1 D. 2 5、过直线L:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程为( ) A. (x+)2+(y-)2= B. (x-)2+(y-)2= C. (x-)2+(y+)2= D. (x+)2+(y+)2= 6. 如图,程序框图所进行的求和运算是( )
A. B. C. D. 7. 已知双曲线与椭圆共焦点,它们的离心率之和为,则此双曲线方程是( ) A. B. C. D. 8.O是△ABC所在平面内一点,若,则动点P的轨迹通过三角形的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 9. 连续两次掷骰子分别得到点数m、n,则向量与向量的夹角的概率是( ) A. B. C. D. 10. 给定集合,定义 .若则集合 中的所有元素之和为 A. 15 B. 14 C. 27 D. -14 11. 函数的图像在y轴上的截距为负实数且它的导函数的图像是如图所示的一条直线,则的图像( )
A. 一定不经过第一象限 B. 一定不经过第二象限 C. 一定不经过第一、二象限 D. 一定不经过第三象限 12. 设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使对一切实数x均成立,则称f(x)为“有界泛函”,给出以下函数:
20070405 其中是“有界泛函”的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二. 填空题 13. 展开式中x2项的系数是 。 14. 已知y = f(x)是偶函数,当x > 0时,f(x)=(x-1)2;若当时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值是 。 15. 已知x、y、z满足且的最小值为-6,则常数。 16. 给出以下命题: ①在证明为增函数时,增函数的定义是大前提,函数满足增函数的定义是小前提; ②“a=b”是“直线y=x+2与圆相切”的充分不必要条件; ③对任意实数α,直线总与某一定圆相切; ④过定圆M上的定点A作圆的动弦AB,若(M为圆心),则动点P的轨迹为椭圆。 则正确命题的序号为 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)。
三. 解答题 17. 已知,记函数 (1)求函数的最小正周期及最值; (2)当时,方程有两个不等的实数根,求实数的范围。 18. 已知为实数,求使成立的x的范围。 19. 已知数列是公差d≠0的等差数列,Sn为其前n项之和。 (1)若a2,a3,a6依次成等比数列,求公比; (2)若a1=1,证明点在同一条直线上,并写出此直线方程; (3)若,证明点,都落在以点()为圆心,以1为半径的圆内。 20. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响。已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12,至少选修一门的概率是0.88,用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积。 (1)记“函数为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率; (2)求的分布列和数学期望。 21. 已知:定点F(1,0),动点P在y轴上移动,过点P作直线PM交x轴于点M,并延长MP到N,且 (1)求点N的轨迹方程; (2)直线与点N的轨迹交于不同的两点A、B,若,O为坐标原点,且,求m的取值范围。 22. 设(e为自然对数的底数) (1)求p与q的关系; (2)若在其定义域内为增函数,求p的取值范围; (3)证明: ①;②(n∈N,n≥2)
【试题答案】 一、选择题 1、C 2、C 3、A 4、D 5、A 6、C 7、B 8、C 9、D 10、A 11、B 12、C
二、填空题 13、-9 14、1 15、0 16、①②③
三. 解答题 17、解:(1)
所以,最小正周期为, (2)由得 当时, 故函数与的图像在区间上有两个不同的交点。 根据函数的图像可得, 18. 解:
(1)当m=0时,x>1 (2)当m≠0时, ①m<0时, ②0<m<1时, ③m=1时,x∈ ④m>1时, 19. 解:(1)∵成等比数列,且公差d≠0 ∴ 即公比q为3 (2)∵是等差数列 ∴ 则, ∴点在直线 因而点P1,P2…,Pn各点都在过点(1,1)且斜率为的直线上。 直线方程为: (3)当时,
故:, 故: ∴ 因而点都落在以点()为圆心,以1为半径的圆内。 20. 解:设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z 依题意得 (1)若函数为R上的偶函数,则=0 当=0时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选。
=0.4×0.5×0.6+(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.24 ∴事件A的概率为0.24 (2)依题意知的的取值为0和2 由(1)所求可知 P(=0)=0.24 P(=2)=1-P(=0)=0.76 则的分布列为
∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.52 21. 解:(1)设点N坐标为 ∵M、P、N三点共线 ∴又 ∴,即点P ∴ 由 (2)将,代入抛物线整理得: 即 则由题意:即 由韦达定理知: 又 即: 得:,可知: 此时即 可得: 解得: 所以m的取值范围为 22. 解:(1)由题意
(2)由(1)知:
令h(x)=px2-2x+q。要使g(x)在(0,+∞)为增函数,只需h(x)在(0,+∞)满足: h(x)≥0恒成立 即px2-2x+p≥0 上恒成立 又 所以 (3)证明:①即证:lnx-x+1≤0 (x>0), 设。 当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=1为k(x)的极大值点, ∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1 即 ②由①知lnx≤x-1,又x>0,
∴结论成立 |
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