2012届高三综合练习文科数学试题

                                                         

2012届高三年级第二次综合练习

数学（文）试题

 

（考试时间120分钟   满分150分）

 

         本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

注意事项：

         考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合 ，则

         A．                    B．                                C．                         D．

2．在复平面内，复数 对应的点所在的象限是

       A．第一象限           B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限

3．如果命题“ 且 ”是假命题，“ ”也是假命题，则

         A．命题“ 或 ”是假命题                                  B．命题“ 或 ”是假命题

         C．命题“ 且 ”是真命题                                  D．命题“ 且 ”是真命题

4．已知△ 中， ，  ， ，且△ 的面积为 ，则

         A．                   B．                  C． 或              D． 或

5．已知双曲线 （ ）的右焦点与抛物线 的焦点相同，则此双曲线的离心率为

       A．                  B．           

       C．                 D．

 

 

 

6．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直  角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为

正视图

俯视图

侧视图

         A．                                                                  

         B．

         C．                                                       

         D．

7． 给出下列命题：

函数 的最小正周期是 ；

，使得 ；

已知向量 ， ， ，则 的充要条件是 ．

其中所有真命题是

         A．                         B．                    C．                   D．

8．已知函数 的图象与直线 恰有三个公共点，则实数  的取值范围是

         A．           B．             C．                D．

 

x=1,y=1,z=2

z≤4?

开始

结束

是

否

z=x+y

输出z

y = z

x = y

（第10题图）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．函数 ， 的单调递增区间是      ．

10．运行如图所示的程序框图，输出的结果是      ．

 

 

 

 

 

 

 

 

11．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则实数 的值是     ．

12．若实数 满足 则 的最小值是    ．

13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为   件．当 时，年销售总收入为（ ）万元；当 时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 万元，则 （万元）与 （件）的函数关系式为          ，该工厂的年产量为       件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入 年总投资）

14．在给出的数表中，第 行第 列的数记为 ，且满足 ，

第1行  1  2  4  8  … 第2行  2  3  5  9  … 第3行  3  5  8  13 … …            …

，则此数表中的第2行第7列的数是       ；记第3行的数3，5，8，13，22，39， 为数列 ，则数列 的通项公式是       ．

 

 

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上．

15．（本小题满分13分）

         已知函数 的图象过点 ．

         （Ⅰ）求 的值；

         （Ⅱ）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，求 的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16．（本小题满分13分）

         高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：

分数段	（70,90）	[90,100）	[100,120）	[120,150]
人数	5	a	15	b

         规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名．

         （Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；

         （Ⅱ）当a =11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；

         （Ⅲ）从分数在（70,90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．

 

 

 

 

 

17．（本小题满分13分）

         如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， ．

（Ⅰ）求证： ；

         （Ⅱ）若点 在线段 上，且满足 ,

         求证： 平面 ；

         （Ⅲ）试判断直线 与平面 是否垂直？若垂

         直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．（本小题满分14分）

         设函数 ．

         （Ⅰ）已知曲线 在点 处的切线 的斜率为 ，求实数 的值；

         （Ⅱ）讨论函数 的单调性；

         （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个 ，都有 ．

 

 

19．（本小题满分14分）

         在平面直角坐标系 中，点M到两点 ， 的距离之和为 ，设点 的轨迹为曲线 ．

         （Ⅰ）写出曲线 的方程；

         （Ⅱ）设过点 的斜率为 （ ）的直线 与曲线 交于不同的两点 , ，点 在 轴上，且 ，求点 纵坐标的取值范围．

 

 

 

20．（本小题满分13分）

         已知数列 ， 满足 ，且当 （ ）时， ．令 ．

         （Ⅰ）写出 的所有可能取值；

         （Ⅱ）求 的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         数学试卷答案（文史类）   

一、选择题：

题号	（1）	（2）	（3）	（4）	（5）	（6）	（7）	（8）
答案	D	B	C	A	C	D	D	B

 

二、填空题：

题号	（9）	（10）	（11）	（12）
答案		5	或0

 

题号	（13）		（14）
答案		16	65

注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） ．   ……3分

    由已知点 在函数 的图象上，所以 ，

.                                                       ………5分

    (Ⅱ) 因为 ，

          所以 =2 ，

      所以 ，即 .         ………7分

      因为 ，所以 ，所以 ，               ………8分

又因为 ，所以 ， .                 ………10分

          所以 ， ，                     ………11分

      所以 = .                          ………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则

.

答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为 .           ………3分

（Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当 时，成绩优秀的学生人数为 ，所以

.

答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为 .          ………7分

（Ⅲ）设“从分数在 的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事

件C.

记这5名学生分别为a,b,c,d,e，其中希望生为a,b.

从中任选2名，所有可能的情况为：ab, ac, ad, ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种.                                                           ………9分

其中恰有1名希望生的情况有ac, ad, ae，bc，bd，be，共6种.      ………11分

所以 .                                        

答：从分数在 的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为 .                                                     ………13分

 

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 ，所以 与 确定平面 ，

因为 平面 ，所以 .                         ………2分

由已知得 且 ，

所以 平面 .                                          ………3分

又 平面 ,  

所以 .                                               ………4分

（Ⅱ）过 作 ,垂足为 ，连结 ,则 .          .………5分

P

又 ,所以 .

又 且 ,所以 .

                      .………6分

且 ,所以四边形 为平行四边形. 

………7分                

所以 .

又 平面 , 平面 ,

所以 平面 .                                            ………9分

（Ⅲ）直线 垂直于平面 .                                       ………10分

证明如下：

由（Ⅰ）可知， .

在四边形 中， ， ，

所以 ，则 .

设 ,因为 ,故

则 ,即 .                                ………12分

又因为 ，所以 平面 .                    ………13分

（18）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ） 的定义域为 ,                             . ………1分

.                                             ………2分

根据题意， ，

所以 ，即 ，

解得 .                                                   .………4分

（Ⅱ） .

（1）当 时，因为 ，所以 ， ，

所以 ，函数 在 上单调递减.                   ………6分

（2）当 时，

若 ，则 ， ，函数 在 上单调递减；

若 ，则 ， ，函数 在 上单调递增.  …8分

综上所述，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.                          ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 .

设 ，即 .

.              ………10分

当 变化时， ， 的变化情况如下表：

	－	0	＋
		极小值

是 在 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 的最小值点.

可见 ，                                       .………13分

所以 ，即 ，所以对于定义域内的每一个 ，都有 .                                                   ………14分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题设知 ,

根据椭圆的定义， 的轨迹是焦点为 ， ，长轴长为 的椭圆，

设其方程为

则 ， ， ，所以 的方程为 .            ………5分

（II）依题设直线 的方程为 .将 代入 并整理得，

 . .              ………6分

设 ， ，

则 ，                            ..………7分

设 的中点为 ，则 ， ，即 .                                           ………8分

因为 ，

所以直线 的垂直平分线的方程为 ， ……9分

令 解得， ，                        .………10分

当 时，因为 ，所以 ；           .………12分

当 时，因为 ，所以 .          .………13分

综上得点 纵坐标的取值范围是 .             .………14分

（20）（本小题满分13分）

解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列 的所有可能情况有：

（1） 此时 ；

（2） 此时 ；

（3） 此时 ；

（4） 此时 ；

（5） 此时 ；

（6） 此时 .

所以， 的所有可能取值为： ， ， ， ， ．         .………5分

（Ⅱ）由 ，可设 ，则 或 （ ， ），

    ，

    ，

     …

    ，

所以 ．                               ………7分

因为 ，所以 ，且 为奇数， 是由 个1和 个 构成的数列．

所以

      ．

则当 的前 项取 ，后 项取 时 最大，

此时 ．.……10分

证明如下：

假设 的前 项中恰有 项 取 ，则

的后 项中恰有 项 取 ，其中 ， ， ， ．

所以

 

．

         所以 的最大值为 ．                              .………13分